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May 05, 2023

Chimärenmuster in konservativen Hamilton-Systemen und Bose

Wissenschaftliche Berichte Band 13,

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 8590 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Details zu den Metriken

Experimentelle Realisierungen von Chimärenmustern, die durch koexistierende Bereiche von Phasenkohärenz und Inkohärenz gekennzeichnet sind, wurden bisher für nichtkonservative Systeme mit Dissipation und ausschließlich in klassischen Umgebungen erzielt. Die Möglichkeit, Chimärenmuster in Quantensystemen zu beobachten, wurde selten untersucht und es bleibt eine offene Frage, ob Chimärenmuster in geschlossenen oder konservativen Quantensystemen existieren können. Hier gehen wir diese Herausforderungen an, indem wir zunächst ein konservatives Hamilton-System mit nichtlokalem Hopping vorschlagen, bei dem die Energie wohldefiniert und erhalten bleibt. Wir zeigen explizit, dass ein solches System Chimärenmuster aufweisen kann. Anschließend schlagen wir einen physikalischen Mechanismus für das nichtlokale Springen vor, indem wir einen zusätzlichen Vermittlungskanal verwenden. Dies führt uns dazu, ein mögliches experimentell realisierbares Quantensystem vorzuschlagen, das auf einem Zweikomponenten-Bose-Einstein-Kondensat (BEC) mit einem spinabhängigen optischen Gitter basiert, wobei eine nicht eingefangene Komponente als das Materiewellen-vermittelnde Feld dient. In diesem BEC-System kann ein nichtlokales räumliches Springen über Dutzende von Gitterplätzen erreicht werden, und Simulationen legen nahe, dass Chimärenmuster in bestimmten Parameterbereichen beobachtbar sein sollten.

Chimärenmuster sind durch die Koexistenz räumlich lokalisierter Bereiche der Phasenkohärenz und Phaseninkohärenz gekennzeichnet, die in Systemen mit Translationsinvarianz spontan die Symmetrie brechen1,2,3,4. Diese Muster wurden erstmals bei der Untersuchung der komplexen Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)8,9 mit nichtlokaler diffusiver Kopplung identifiziert5,6,7. Etwa ein Jahrzehnt nach der Entdeckung wurden diese Muster experimentell in chemischen, mechanischen, optischen, elektronischen und optoelektronischen Systemen nachgewiesen10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20. Chimärenmuster treten auch in neuronalen Systemen auf, was darauf hindeutet, dass diese Muster bestimmten biologischen Funktionen dienen21,22. Theoretische Studien zu Chimärenmustern wurden in einer Vielzahl von Systemen in der Naturwissenschaft1,2,3,4,23,24,25,26,27,28,29,30 durchgeführt, darunter Exziton-Polariton-31,32 und gekoppelte Wellenleiter Resonatoren33 und Metamaterialien34, um nur einige in physikalischen Systemen zu nennen. Im Laufe der Jahre wurden die Studien auch auf verschiedene Oszillatoren, Verbindungstopologien, Muster und physikalische Eigenschaften sowie verschiedene Vorstellungen von Chimärenmustern ausgeweitet1,2,3,4,27,35,36. Bisher wurden Chimärenmuster ausschließlich in Experimenten mit klassischen dissipativen und nichtkonservativen Systemen beobachtet. Es wurden nur begrenzte Untersuchungen zu Chimärenmustern in Quantensystemen durchgeführt. Sie alle befinden sich in offenen Quantensystemumgebungen mit Antrieb und Dissipation, wie zum Beispiel Zeitkristallen37,38,39. Daher ist noch nicht klar, welche geschlossenen Systeme und Quantensysteme Chimärenmuster aufweisen könnten.

Hier untersuchen wir die Existenz von Chimärenmustern in konservativen Systemen und Quantensystemen mithilfe eines Hamilton-Ansatzes. In der klassischen Physik können ein System und seine Dynamik vollständig definiert werden, indem die Gesamtenergie des Systems anhand der Systemparameter angegeben wird, die als Hamiltonian40 bezeichnet werden. Ein geschlossenes konservatives System kann durch einen zeitunabhängigen Hamilton-Operator mit konstanter Energie angegeben werden. Mit einem solchen Hamilton-Operator gibt es eine einfache Methode zur Verallgemeinerung auf Quantensysteme unter Verwendung eines bekannten Quantisierungsregelansatzes. Die spezifischen Hamilton-Systeme, die wir hier betrachten, sind die mehrkomponentigen Bose-Einstein-Kondensate (BECs)41,42,43,44, die über einen entsprechenden Satz mittlerer Felddynamikgleichungen verfügen, die als Gross-Pitaevskii-Gleichungen (GPEs)45,46 bezeichnet werden. 47. Das einkomponentige GPE kann in bestimmten Grenzen und mit einigen Erweiterungen als Sonderfall des CGLE betrachtet werden8,48, sodass beide globale Phasensymmetrie und Nichtlinearität dritter Ordnung aufweisen. Historisch gesehen entspricht die CGLE der Normalform jedes räumlich ausgedehnten Systems in der Nähe einer Hopf-Verzweigung – einem kritischen Punkt, an dem ein stationäres System zu schwingen beginnt9,49 und beschreibt phänomenologisch viele physikalische Systeme, wie zum Beispiel nichtlineare Wellen8,50. Im Gegensatz zum typischen CGLE-Regime verhält sich das GPE lokal wie ein ungedämpfter nichtlinearer Oszillator mit fester Energie und keinem Grenzzyklus (siehe Abb. 1). Frühere Forschungen, die sich auf eine hamiltonsche Formulierung von Schwingungen und die Entstehung von Synchronität konzentrierten, bewiesen die Existenz einer Kuramoto-Dynamik in hamiltonschen Systemen und stellten somit eindeutig eine Verbindung zwischen dissipativer und konservativer Dynamik her51. Dies deutet zwar darauf hin, dass Chimärenmuster auch in konservativen Systemen existieren könnten, ein Machbarkeitsnachweis wurde jedoch noch nicht erbracht. Wie wir hier zeigen, können Chimärenmuster tatsächlich sowohl in bestimmten konservativen Systemen als auch in BECs beobachtet werden.

Dieses Papier ist in drei Teile gegliedert, in denen jeweils ein Hamilton-System vorgestellt wird, das zu Chimärenmustern führen kann. Das erste und allgemeinste Modell ist das nichtlokale Hopping-Modell (NLHM), das als Verallgemeinerung des diskreten GPE mit nichtlokalem Hopping betrachtet werden kann, oder die Mean-Field-Theorie des Bose-Hubbard-Modells (BHM)52,53,54 mit abstimmbarem nichtlokalem Hopping. Dieses Modell wurde im Quantenregime selten untersucht 55,56. Mit der Einführung der neuen charakteristischen Längenskala R des nichtlokalen Hopfens zeigen wir, dass es Chimärenmuster im klassischen Regime sowohl in einer als auch in zwei Dimensionen aufweisen kann. Wir untersuchen auch verschiedene Eigenschaften dieser Muster.

Im zweiten Teil stellen wir ein minimal konservatives Modell mit lokaler Kopplung vor, das auf effektiver Ebene zum nichtlokalen Hopping-Modell führen kann. Nichtlokale Beschreibungen werden häufig bequem für Systeme wie Gravitations-, elektrische, magnetische und Dipolwechselwirkungen verwendet, obwohl die Lokalität eines der Grundprinzipien der Physik ist. Diese Beschreibungen sind korrekt, wenn das vermittelnde Feld viel schneller ist als die Dynamik der Partikel, wodurch das vermittelnde Bild auf eine effektive Partikel-Partikel-Beschreibung mit einem nichtlokalen Term reduziert werden kann. Ähnliche effektive Beschreibungen können durch Hinzufügen eines vermittelnden Kanals, wie z. B. einer hohlraumvermittelten globalen Kopplung, erstellt werden57. Darüber hinaus kann der Kopplungsbereich in bestimmten Systemen einstellbar sein, beispielsweise in Systemen mit nichtlokaler diffusiver Kopplung58 oder durch Licht vermittelter Fernkopplung59,60, die kürzlich untersucht wurden. Hier zeigen wir unter Verwendung des gleichen Prinzips, dass ein schneller Vermittlungskanal an das bestehende System angeschlossen werden kann und die adiabatische Eliminierung des schnellen Kanals zum NLHM führt.

Im dritten Teil wollen wir ein konservatives physikalisches System identifizieren, das durch das NLHM genau beschrieben werden kann. Zu diesem Zweck schlagen wir ein spezifisches physikalisches Modell vor, das auf einem Zweikomponenten-BEC in einer spinabhängigen Falle61 mit kohärenten Schwingungen62,63 basiert. Die Implementierung in BECs ermöglicht grundsätzlich die Erforschung sowohl von Quanten- als auch von klassischen Regimen sowie die flexible Steuerung nahezu aller Parameter64,65. Beispielsweise kann die Anpassung der Partikeldichte und des Magnetfelds in der Nähe von Feshbach-Resonanzen66 sowohl die Partikelverlustrate als auch die Stärke nichtlinearer Wechselwirkungen verändern. In diesem Aufbau entsteht das Hüpfen durch die Ausbreitung von Wellenfunktionen im vermittelnden Kanal, die durch eine Schrödinger-ähnliche Gleichung gesteuert wird, sodass das räumliche Hüpfen von Atomen durch die Materiewelle selbst vermittelt wird. Hierzu verwenden wir eine mathematische Formulierung ähnlich früheren Studien55,56. Der Verlust ultrakalter Atome begrenzt die Lebensdauer (was in bestimmten Systemen kritisch sein kann67) und kann die maximal beobachtbare Reichweite des Hüpfens einschränken. Wir identifizieren ein umsetzbares Parameterregime in Experimenten mit aktueller Technologie. Obwohl dieses Regime nicht nahe der adiabatischen Grenze liegt, zeigen wir, dass immer noch Chimärenmuster existieren. Diese Ergebnisse legen nahe, dass Chimärenmuster in einem breiten Spektrum von Parameterbereichen mit Unvollkommenheiten existieren können und daher in Experimenten mit ultrakalten Systemen unter Verwendung unseres Vorschlags beobachtbar sein könnten.

Darstellung der Dynamik zweier unterschiedlicher Oszillatortypen in einem zweidimensionalen Phasenraum. (a) Ein selbsterhaltender Oszillator mit einem Grenzzyklus-Attraktor. Trajektorien in der Nähe eines Grenzzyklus (dargestellt durch den gepunkteten Einheitskreis) bewegen sich darauf zu. Energiedisspation und -antrieb sind vorhanden, so dass zwei unterschiedliche Anfangszustände im Laufe der Zeit bis ins Unendliche zu derselben asymptotischen Dynamik mit derselben Schwingungsfrequenz tendieren. (b) Ein konservativer nichtlinearer Oszillator. Typischerweise hängt die Schwingungsfrequenz vom Ausgangszustand ab. Da Energie erhalten bleibt, bleiben Trajektorien, die unterschiedlichen Anfangsenergien entsprechen, jederzeit getrennt.

Das NLHM-Modell wird durch den Hamiltonianer gegeben:

Dabei ist \(a_{i}=\sqrt{n_{i}}e^{i\theta _{i}}\) eine komplexe Zahl, die den Zustand von Standort i darstellt, so dass \(|a_i|\) ist die Amplitude, \(n_{i}=|a_{i}|^{2}\) ist die Anzahl der Teilchen oder die Dichte und \(\theta _{i}\) ist die Phase. \(\mathscr {U}\) ist die nichtlineare Energie mit der nichtlinearen Wechselwirkung U vor Ort und \(\mathscr {P}\) ist die Sprungenergie mit der Sprungstärke P. \(G_{ij}\) ist der Sprungkern, der das Springen vom Ort \(\textbf{r}_{j}\) nach \(\textbf{r}_{i}\) beschreibt, mit \(G_{ij}=G_{ji}\ ). Typischerweise nimmt \(G_{ij}\) mit zunehmender Distanz \(|\textbf{r}_{j}-\textbf{r}_{i}|\) ab und kann durch einen Sprungbereich R charakterisiert werden. Für ausreichend kleines R wird das Hopfen effektiv zum nächsten Nachbarn. In dieser Arbeit verwenden wir \(G_{ij}\) und R, abgeleitet aus Tabelle 1. Dieser Hamilton-Operator erhält sowohl die Energie als auch die Teilchenzahl \(N=\sum _{i}n_{i}\). Es kann auch mit der kanonischen Koordinate und dem Impuls \(\{q_{i},p_{i}\}\) sowie der Aktions- und Winkelvariablen \(\{n_{i},\theta _{i) ausgedrückt werden }\}\) (siehe SM Abschn. S1). Beachten Sie, dass der Sprungterm im Hamilton-Operator quadratisch \(a_{i}^{*}a_{j}\) ist, was sich vom üblichen quartischen Term einer Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung \(n_{i}n_{j) unterscheidet }\) beispielsweise für die Coulomb-Wechselwirkung. Daher enthält die entsprechende dynamische Gleichung die Vor-Ort-Nichtlinearität niedrigster Ordnung und den nichtlokalen linearen Sprungterm:

Dabei ist \(\hbar\) die Planck-Konstante, die wir ohne Verlust der Allgemeingültigkeit durch Neuskalierung der Zeit auf \(\hbar =1\) setzen können. Beachten Sie, dass es sich bei dieser Gleichung um die Mittelfeldgleichung des BHM mit nichtlokalem Hopping handelt55,56. Darüber hinaus ist die Variation dieser Gleichung für den nächsten Nachbarn die diskrete GPE68 und die nichträumliche Variation ist die diskrete Selbsteinfanggleichung69.

Die dynamische Gleichung des NLHM kann mithilfe der Umskalierung \(a_{i} \rightarrow a_{i}/\sqrt{n_{0}}\), \(t \rightarrow (Un_{0}) in eine dimensionslose Form umgeschrieben werden. /\hbar )t\) und \(P \rightarrow P/(Un_{0})\) wobei \(n_{0}\) die durchschnittliche Anzahl der Partikel pro Ort ist. Die Gleichung lautet: \(i\dot{a}_{i}(t)=|a_{i}|^{2}a_{i}-P\sum _{j}G_{ij}a_{j} \), der nur von den Kontrollparametern der neu skalierten Sprungstärke P und dem neu skalierten Sprungradius R abhängt. Alternativ kann Gl. (2) kann in Form von \(\theta _{i}(t)\) und \(n_{i}(t)\) als geschrieben werden

Dies zeigt explizit, dass die Entwicklung der Phase \(\theta _{i}(t)\) von der Dichte \(n_{i}(t)\) der Oszillatoren abhängt und umgekehrt. Selbst im sehr schwachen Hopping-Regime bleiben sie an die niedrigste Ordnung gekoppelt. Für dissipative Systeme, wie in Abb. 1a dargestellt, kann man eine vereinfachte Phasendynamik erhalten, wenn \(\dot{n_i}\sim 0\) nach der Dissipation im schwachen Kopplungsbereich für alle i ist. Dies ist im konservativen Fall mit konstanter Energie im Allgemeinen nicht möglich, da im Allgemeinen ein großes \(n_i\) an einem Ort i durch ein kleines \(n_j\) an einem oder mehreren anderen Orten kompensiert werden muss, um die Energie konstant zu halten. Dies unterstreicht die wichtige Rolle dieser Bedingungen für konservative Systeme im Gegensatz zu dissipativen Systemen. Die Dynamik des NLHM kann durch Lösen von Gl. ermittelt werden. (2) unter Verwendung standardmäßiger numerischer Methoden (siehe „Methoden“). Die Ergebnisse für 1D und 2D sind in den folgenden Unterabschnitten angegeben.

NLHM in 1D mit nur zufälligen Anfangsphasen für Oszillatoren. (a) Raum-Zeit-Diagramm der Phase \(\theta _i(t)\). (b) Raum-Zeit-Diagramm des \(n_i(t)\). (c) Momentaufnahme von \(\theta _i(t)\) bei \(t=0\) und \(t=400\). (d) Momentaufnahme von \(n_i(t)\) bei \(t=0\) und \(t=400\). (e) Diagramm des lokalen Ordnungsparameters \(\mathscr {O}\) bei \(t=400\). (f) Diagramm des lokalen Ordnungsparameters \(\mathscr {O}\) bei \(x=0\) über die Zeit. (g) Durchschnittliche Kreisfrequenz \(\langle \dot{\theta }_i\rangle\) zwischen \(t=0\) und \(t=400\). (h) Die Schwingung \(Im(a_i)\) zweier Oszillatoren nahe der Mitte. Parameter: \(Un_{0}=1\), \(P=0,2\), \(R=64\) und Anzahl der Gitter \(L=2048\) mit No-Flux-Randbedingung und Anfangsdichte \ (|a_i|^2=1\). Der Übersichtlichkeit halber ist nur der mittlere Bereich dargestellt. Der Sprungkern \(G_{ij}\) ist in Tabelle 1 angegeben. Es werden dimensionslose Einheiten und \(\hbar =1\) verwendet.

Ähnlich wie Abb. 2, jedoch mit einer anfänglichen Dichte von Null in der Mitte und einem Phasenumschlag, wie in den Unterabbildungen (c) und (d) dargestellt. Gleicher Parameter wie in Abb. 2 mit \(N = \sum _i|a_i|^2 = L\).

Eine häufig verwendete Anfangsbedingung für Chimärenmuster ist ein zufälliges Phasenfeld5,24,70,71, in dem Chimärenmuster nach einer ausreichend langen Relaxationszeit auftreten können. Für NLHM zeigen Simulationen jedoch, dass die Dynamik für solche zufälligen Anfangsbedingungen inkohärent bleibt und keine klaren Muster im Zeitverlauf aufweist. Dies ist nicht unerwartet, da die spontane Entstehung persistenter Muster in räumlich ausgedehnten Systemen typischerweise mit der Vorstellung eines Attraktors verbunden ist, der in unserem konservativen Modell nicht existiert. Stattdessen können inkohärente und kohärente Regionen – und damit Chimärenmuster – über die Zeit erhalten bleiben, wie in Abb. 2a – d gezeigt, ausgehend von Anfangsbedingungen, die bis auf zufällige Phasen (jedoch keine Amplituden oder Dichten) in einem kleinen Bereich einheitlich sind Region. Insbesondere ist die zeitlich gemittelte Kreisfrequenz \(\langle \dot{\theta }_{i}\rangle\), wie in Abb. 2g dargestellt, im kohärenten Bereich gleichmäßig und nimmt im inkohärenten Bereich einen Wertebereich an , wodurch die definierende Eigenschaft eines Chimärenzustands erfüllt wird. Was die zeitliche Entwicklung betrifft, so induzieren die zufälligen Phasen, obwohl \(n_{i}\) anfänglich konstant ist, sofort Schwankungen in der Dichte, wie in Abb. 2b gezeigt (siehe Animationen der Simulationen in SM), wie aufgrund von Gleichung (1) erwartet . (3). Ein solches Verhalten kann durch vereinfachte Phasenmodelle konstruktionsbedingt nicht erfasst werden. Um die Kohärenz der Phase zu messen, verwenden wir den lokalen Ordnungsparameter \(\mathscr {O}_i = \sum _j G_{ij} e^{i\theta _j}\)5. Der Betrag \(|\mathscr {O}_i| \sim 1\), wenn alle Phasen \(\theta _j\) innerhalb des Sprungbereichs R gleich sind. Wie in Abb. 2e gezeigt, ist \(|\mathscr {O }_i|\) nimmt erwartungsgemäß nahe der Mitte des inkohärenten Bereichs ein Minimum an. Darüber hinaus konvergiert der lokale Ordnungsparameter nicht, sondern schwankt weiterhin, wie in Abb. 2f (siehe auch Abb. 3f) gezeigt, aufgrund der konservativen Natur des Systems, die ein für dissipative Systeme typisches Relaxationsverhalten verhindert. Abbildung 2a, c, e, g zeigen auch, dass der inkohärente Bereich für diesen Anfangszustand nicht vollständig desynchronisiert ist. Eine viel stärkere Desynchronisation kann unter Verwendung einer Anfangsbedingung erreicht werden, bei der sowohl die Phase als auch die Amplitude zufällig um den Mittelbereich herum sind, siehe Abb. S2 im SM. Daher spielt die Anfangsamplitude eine bedeutende Rolle für die Eigenschaften der beobachteten Chimärenmuster in konservativen Systemen, während dies bei dissipativen Systemen typischerweise nicht der Fall ist, wo anfängliche Schwankungen der Amplitude tendenziell gedämpft werden. Eine weitere bemerkenswerte Beobachtung ist, dass sich \(\langle \dot{\theta }_{i}\rangle\) über den inkohärenten Kern nicht monoton verhalten kann (siehe Abb. 2g und auch Abb. 3), während es sich typischerweise mit monoton ändert Abstand vom inkohärenten Kern im dissipativen Fall und in vereinfachten Phasenmodellen5. Die inkohärente Dynamik der Oszillatoren kann in Abb. 2h beobachtet werden, wo die Flugbahnen zweier Oszillatoren innerhalb des inkohärenten Bereichs dargestellt sind. Der spezifische Wert der Sprungstärke \(P>0\) hat keinen qualitativen Einfluss auf die Chimärenmuster. Bei einheitlichen Anfangsbedingungen der Amplitude können die Schwankungen der Amplitude jedoch abnehmen, wenn P abnimmt, wie in Abb. S3 in SM gezeigt.

Dies könnte zwar darauf hindeuten, dass in einigen Sonderfällen eine einfache Phasenbeschreibung ausreichend ist, eine solche Vereinfachung ist jedoch im Allgemeinen nicht möglich, wie oben bereits erläutert. Ein besonderes Merkmal des NLHM besteht insbesondere darin, dass die lokalen Phasenoszillatoren aufgrund des Fehlens eines Grenzzyklus-Attraktors mit jeder Amplitude schwingen können. Dies kann anhand eines Anfangszustands mit unterschiedlichen Amplituden beobachtet werden. Ein Beispiel ist in Abb. 3c,d dargestellt, wo die Anfangsdichte auf Null fällt und sich die Phase in der Mitte um \(\pi\) ändert (dies ist ein Querschnitt eines Wirbelphasen-Anfangszustands, siehe nächster Abschnitt für mehr). Einzelheiten). Wie frühere Studien27,28 nahelegen, können aus einem solchen regelmäßigen Ausgangszustand spontan interessante Chimärenmuster gebildet werden. Hier nehmen die lokale Phaseninkohärenz und die lokale Dichteschwankung um das Zentrum mit der Zeit zu, wie in Abb. 3a, b dargestellt. Wie Abb. 3h zeigt, kann sich auch die Momentanfrequenz der Oszillatoren in der Nähe des Zentrums im Laufe der Zeit deutlich ändern. Insbesondere haben diese Schwingungen eine Amplitude nahe Null, wie in Abb. 3b, h dargestellt. Im Gegensatz dazu entwickeln sich die Schwingungen bei den entsprechenden Chimärenmustern, die in dissipativen Systemen mit selbsterhaltenden Oszillatoren gebildet werden, typischerweise nahe den Grenzzyklen im schwachen Kopplungsregime6.

Chimärenmuster im 2D-NLHM, gegeben durch Gl. (1). (a) Die Anfangsphase mit gleichmäßiger Amplitude \(|a_i|=1\) zum Zeitpunkt \(t=0\). (b,c) Phase \(\theta _i\) und Anzahl der Teilchen \(n_i=|a_i|^{2}\) bei \(t=100\). (d) Zeitliche Entwicklung der Phase \(\theta _i(t)\) für den Querschnitt \(y=0\). (e) Gemittelte lokale Rotationsgeschwindigkeit \(\langle \dot{\theta }_{i}\rangle\) über das Zeitintervall in (d). (f) Zeitliche Entwicklung der Punkte in der Nähe des Zentrums \((x,y)=(-5,0)\) (rot) und weit entfernt \((-100,0)\) (blau). (g) Lokale Phasenraumtrajektorie von (f). (h) Sprungenergie pro Teilchen \(\mathscr {P}/\mathscr {N}\) Variation über die Zeit. (i) Phasenporträt aller Punkte bei \(t=100\). Parameter: \(Un_{0}=1\), \(P=0,5\), \(R=16\) und Länge \(L=256\) mit Randbedingung ohne Fluss. Der Übersichtlichkeit halber ist nur die Kernregion dargestellt. Der Sprungkern \(G_{ij}\) ist in Tabelle 1 angegeben. Es werden dimensionslose Einheiten und \(\hbar =1\) verwendet.

Ähnlich wie Abb. 4, jedoch mit Wirbel-Anfangszustand, der durch die Phase in (a) und die Dichte im Einschub gegeben ist, und mit einer schwächeren Sprungstärke. Die Punkte sind \((x,y)=(-5,0)\) (rot) und \((-15,0)\) (blau) in (f). Für (g) und (i) gilt \(t=100\). Parameter: \(Un_{0}=1\), \(P=0,1\), \(R=16\) und Größe \(L=256\) mit Randbedingung ohne Fluss.

Ähnlich wie im 1D-System kann sich ein Anfangszustand mit zufälligen Phasenbereichen im 2D-System über die Zeit hinweg aufrechterhalten. Hier konzentrieren wir uns auf solche Chimärenmuster, insbesondere auf solche, bei denen sich spontan eine inkohärente Region um eine Phasensingularität bildet 25, 27, 28. Diese Muster profitieren von einem topologischen Schutz in dem Sinne, dass der inkohärente Kern robust gegenüber Schwankungen in den Phasen ist. Der erste Anfangszustand, den wir untersuchen, ist ein Spiralphasen-Anfangszustand, der überall außer im Zentrum lokal phasenkohärent ist und eine gleichmäßige Dichte aufweist, wie in Abb. 4a dargestellt (siehe auch „Methoden“). Unter dieser Anfangsbedingung kann sich das System spontan in einen Zustand mit einem kleinen inkohärenten Kern entwickeln, der von einem großen räumlich kohärenten Bereich umgeben ist, wie in Abb. 4b für das Phasenfeld dargestellt. Darüber hinaus ist die Dichte in der Nähe derselben Kernregion in Abb. 4c randomisiert. Wie die Dynamik eines Querschnitts in Abb. 4d zeigt, bleibt diese räumliche Struktur über lange Zeiträume erhalten (siehe Abb. S4 für Schnappschüsse und Animationen in SM). Darüber hinaus können die gleichen Muster auch dann beobachtet werden, wenn die Systemgröße L und auch R erhöht werden (siehe Abb. S5 in SM). Die lokale Dynamik der beiden Oszillatoren in Abb. 4f,g zeigt deutlich den Unterschied zwischen zwei Regionen: \(a_{i}\) schwingt regelmäßig weit vom Kern entfernt, aber nicht in der Nähe davon. Wie im 1D-System kann der inkohärente Bereich nur dann auftreten, wenn der Sprungbereich R ausreichend groß ist, hier \(R \gtrsim 3\). Darüber hinaus reduziert sich das System beim Next-Neighbor-Hopping auf die diskrete GPE, sodass sich der inkohärente Bereich ausbreitet und wie eine Welle interferiert (siehe Abb. S8 in SM). Alle diese Merkmale stimmen mit früheren Beobachtungen von Chimärenkernen für angetrieben-dissipative Systeme mit autarken Oszillatoren überein24,25,28. Die unterschiedlichen Merkmale in 2D ähneln denen in 1D. Dies ist in Abb. 4e–g für die Kreisfrequenzen und die Trajektorien im Phasenraum dargestellt. Beachten Sie insbesondere die starken Schwankungen der durchschnittlichen lokalen Rotationsgeschwindigkeit. Insbesondere können die Oszillatoren erhebliche Amplitudenschwankungen aufweisen, wie aus Abb. 4c, g und dem Phasenporträt in Abb. 4i hervorgeht, das die Phase und Amplitude aller Oszillatoren zu einem bestimmten Zeitpunkt zeigt. Wir möchten darauf hinweisen, dass das Muster nach der Bildung des Chimärenkerns über die längsten Zeitskalen anhält, die wir simulieren konnten (\(>1000\) Spiralrotationen). Diese Beobachtung legt nahe, dass, wenn ein zufälliger Phasenkern als Ausgangsbedingung verwendet wird, das Chimärenkernmuster auch über so lange Zeiträume bestehen bleibt. Dies ist tatsächlich das, was wir beobachten (siehe Abb. S6 in SM).

Die wichtige amplitudenabhängige Dynamik ohne Grenzzyklen kann deutlich für den Anfangszustand der Wirbelphase beobachtet werden, wobei die Amplitude in der Mitte in Abb. 5 auf Null geht (siehe Abb. S7 für Schnappschüsse in SM), mit einem schwächeren Sprung \(P=0,1). \). Ähnlich wie im oben diskutierten 1D-Fall bleiben die Schwankungen der Amplitude für kleine P nahe an der Anfangsbedingung. Insbesondere Oszillatoren mit unterschiedlichen Amplituden haben auch im schwachen Sprungregime gemäß Gl. (3) mit kleinen Korrekturen aufgrund des schwachen Hopfens. Noch wichtiger ist, dass es als konservatives Hamilton-System eine Zeitumkehrsymmetrie aufweist und sowohl die Größen \(\mathscr {H}\) als auch N erhält (siehe Abb. S9 und Animationen in SM). Dies führt zu anhaltenden Schwankungen oder Wellen, wie in Abb. 4b–d zu sehen, die in einem dissipativen System schnell gedämpft würden. Darüber hinaus sind die Ergebnisse der zeitlichen Rückwärtsentwicklung der Kernregion sehr heikel. Mit einer kleinen Störung kann sich der Hintergrund bei \(t=0\) wieder in nahezu den gleichen Zustand entwickeln, aber der Kern bleibt inkohärent (siehe Abb. S9 in SM), was wiederum den Unterschied zwischen den beiden Regionen anzeigt (siehe Abschn . S4 und Animationen in SM). Dies deutet darauf hin, dass die Poincaré-Wiederkehrzeit zu einer regelmäßigen Spirale – die Zeit, die benötigt wird, um innerhalb einer beliebig kleinen, aber endlichen Entfernung zum ursprünglichen Zustand (Modulo möglicher Rotationen oder Translationen) zurückzukehren – groß ist und dass die Wahrscheinlichkeit, auf eine regelmäßige Spirale zu stoßen, Null ist in der unendlichen Systemgrößenbeschränkung.

Darüber hinaus ist die Sprungenergie \(\mathscr {P}\) nicht konstant, wie in Abb. 4h gezeigt, obwohl die Gesamtenergie \(\mathscr {H}\) konstant ist. Es findet also mit der Zeit eine Umwandlung zwischen \(\mathscr {P}\) und \(\mathscr {U}\) statt. Dies unterscheidet sich von einer einfachen kohärenten und gleichmäßigen Verteilung \(a_i=\sqrt{n_0}\) mit einer Energie pro Teilchen gegeben durch \(\mathscr {H}/N = Un_0^2/2 - Pn_0\) mit konstantem \ (\mathscr{P}\) und \(\mathscr{U}\). Beachten Sie, dass alle hier betrachteten Chimärenmuster nicht den Grundzuständen des Hamilton-Operators entsprechen, sondern angeregte Zustände sind.

In realistischen experimentellen Systemen gibt es typischerweise einen geringen Partikelverlust, der phänomenologisch durch den Term \(U\rightarrow U-iU_{loss}\) modelliert werden kann. Intuitiv sollte sich die Dynamik nicht wesentlich ändern, wenn der Verlust der Partikel weniger als die Hälfte der ursprünglichen Partikelanzahl beträgt, die durch die Bedingung \(U_{Verlust} t/\hbar \lesssim 1\) gegeben ist. Tatsächlich können Chimärenmuster beispielsweise noch mit \(U_{Verlust}/U=0,02\) in ausreichend kurzer Zeit beobachtet werden (Abb. S11 in SM). Weitere Details zu einem solchen Verlust in 1D (Abb. S10 in SM) und 2D (Abb. S11 in SM) werden in Abschn. S4 in SM.

Illustration des vermittelten Hopfens. (a) Zweikomponentenmodell: Partikel mit Vor-Ort-Wechselwirkung U werden gefangen (gekennzeichnet durch \(\psi _1\)), können aber in einen vermittelnden Zustand (gekennzeichnet durch \(\psi _2\)) umgewandelt werden, der sich ausbreiten kann frei. Es wird schließlich wieder in nahegelegene Standorte umgewandelt, wodurch ein charakteristischer Sprungbereich R entsteht. (b) Effektives Modell mit Sprungstärke P nach adiabatischer Eliminierung des schnell vermittelnden Kanals. (c) Periodisches Gitter mit Abstand d und Gittertiefe \(V_{0}\): Eingefangene bosonische Teilchen können durch lokale Grundzustandswellenfunktionen mit Breite \(\ell\) und Energie \(\epsilon _{1}\ beschrieben werden ) (mit Energielücke \(\delta \epsilon = \epsilon _{2}-\epsilon _{1}\)). P und R können durch die kohärente Schwingungsfrequenz \(\Omega\) und die Verstimmung \(\Delta =\Delta _{2}-\epsilon _{1}/\hbar\) zwischen lokalisierten Zuständen und vermittelnden Zuständen gesteuert werden. (d) R kann um \(\Delta\) angepasst werden, siehe Text für Details. (e) 2D-periodisches Gitter, betrachtet in Abb. 8.

Die Schlüsselidee für den Vermittlungsmechanismus besteht darin, einen interkonvertierbaren Vermittlungskanal (beschriftet mit \(\psi _2\)) an gefangene Zustände (beschriftet mit \(\psi _1\)) anzuschließen, wie in Abb. 6a dargestellt. Beim direkten Hüpfen führt eine Erhöhung der Energiebarriere zwischen benachbarten Standorten zu einer Verringerung sowohl der Hüpfstärke als auch der Hüpfreichweite. Wenn die Teilchen dagegen in schnell vermittelnde Zustände umgewandelt werden können, die keiner Energiebarriere unterliegen, können die Teilchen physikalisch viel weiter wegspringen. Mathematisch gesehen kann dieser Kanal adiabatisch eliminiert werden (wie dies beispielsweise in 5,72 für nicht-Hamiltonsche Systeme geschieht), was zu einem effektiven nichtlokalen Modell (siehe Abb. 6b) mit unabhängig einstellbarer Nichtlinearität, Sprungstärke und Sprungfrequenz vor Ort führt Bereich, der vom nächsten Nachbarn bis zum globalen Hopping angepasst werden kann.

Ein minimales mathematisches Modell, das die oben diskutierten Konzepte des Vermittlungskanals erfasst, hat die Form:

für die lokalisierten \(\psi _1\) bzw. vermittelnden \(\psi _2\) Komponenten. Der entsprechende Hamiltonoperator ist in Gl. angegeben. (6) mit entsprechenden Parametern. Die gegenseitige Umwandlung wird durch eine Verstimmung \(\Delta\), die die Anzahl der Teilchen erhält, und eine kohärente Kopplung mit kohärenter Schwingungsfrequenz \(\Omega\) bestimmt. Abhängig von den untersuchten physikalischen Systemen kann diese Kopplung alternativ auch als Rabi-Kopplung oder Josephson-Kopplung bezeichnet werden62,63,73. Gl. (4b) ist im Wesentlichen die Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen mit der umgekehrten Masse \(\kappa =\hbar /(2m)>0\) und daher können sich die Teilchen nach außen ausbreiten. Die zusätzliche Verstimmung im weit verstimmten Regime \(|\Delta | \gg |\Omega |\) kann sicherstellen, dass die vermittelnde Idee wohldefiniert ist: Die Anzahl der Teilchen \(N_{j}=\int d\textbf{ r}|\psi _{j}|^{2}\) im vermittelnden Kanal \(N_{2}\ll N_{1}\ approx N\) kann vernachlässigt werden. Beachten Sie, dass dieses Modell nicht vom Rahmen der nichtlokalen diffusiven Kopplung erfasst wird58. Es ist explizit so konstruiert, dass die Erhaltungseigenschaften des zugrunde liegenden Hamilton-Systems immer erhalten bleiben, selbst wenn adiabatische Eliminierung angewendet wird.

Chimärenmuster im Minimalmodell mit der direkten Simulation unter Verwendung von Gl. (4) bei \(t=100\) ähnlich Abb. 4b,c. Die Einstellung ist die gleiche wie in Abb. 4, jedoch mit den Parametern \(\Delta =16\), \(\Omega =\sqrt{8}\), \(U=1\) und \(\kappa =4096 \).

Angenommen, \(\psi _{1}\) entwickelt sich viel langsamer als \(\psi _{2}\), dann können wir die adiabatische Eliminierung anwenden, indem wir \(\dot{\psi }_{2}=0\) setzen. 74. Die Lösung von \(-\kappa \nabla ^{2}\psi _{2}+\Omega \psi _{1}+\Delta \psi _{2}=0\) im unbeschränkten isotropen Raum mit Translationsinvariante ist gegeben durch die Faltung \(\psi _{2}(\textbf{r},t)=-(\Omega /\Delta )G_{D}(\textbf{r})*\psi _{1}( \textbf{r},t)\), wobei \(G_{D}(\textbf{r})\) der D-dimensionale Sprungkern oder die Greensche Funktion ist, wie in Tabelle 1 aufgeführt, mit Sprungradius \( R=\sqrt{\kappa /|\Delta |}\). Beachten Sie, dass \(\Delta >0\) für die Lösung von begrenzten Hopping-Kerneln erforderlich ist (siehe die Form von \(\psi _2\) in Abb. 6a), während \(\Delta <0\) zu Wellen- führt. ähnliche Lösung. Setzt man diese Lösung wieder in Gl. (4a) können wir das Kontinuum NLHM erhalten:

wobei die Summation durch ein Integral mit Sprungstärke \(P=\hbar \Omega ^{2}/\Delta\) ersetzt wird. Wie in Abb. 7 dargestellt, kommt der kontinuierliche NLHM den diskreten NLHM-Ergebnissen aus Abb. 4 gut nahe.

Ein ultrakaltes Atomsystem eines allgemeinen Zweikomponenten-GPE in einer spinabhängigen Falle mit kohärenter Umwandlung ist durch den Hamilton-Operator gegeben:

mit

und mit der Normalisierung \(N=N_{1}+N_{2}\) wobei \(N_{i}=\int d\textbf{r}|\psi _{i}(\textbf{r})| ^{2}\) ist die Anzahl der Partikel für jede Komponente. \(m_i\) ist die Masse der Teilchen, \(V_{i}(\textbf{r})\) ist das Fallenpotential, \(g_{ij}\) ist der Zwei-Teilchen-Kollisionskoeffizient und wir Nehmen Sie im Moment \(g_{12}=g_{22}=0\) an (siehe Erklärung unten für den Fall ungleich Null). Der kohärente Schwingungsterm \({{\mathscr {R}}}\) repräsentiert die gegenseitige Umwandlung zwischen den beiden Komponenten mit der räumlich homogenen kohärenten Schwingungsfrequenz \(\Omega\) und der Verstimmung \(\Delta _{i} \). Durch Setzen von \(V_i=0\), \(m_1 \rightarrow \infty\) und \(\Delta _{1}=0\) gelangen wir zum Hamilton-Operator für das oben diskutierte Minimalmodell. Wenn im vermittelnden Kanal eine kleine Nichtlinearität vorhanden ist, wird die effektive Verstimmung zu \(\Delta \rightarrow \Delta +g_{12}|\psi _1|^2+g_{22}|\psi _2|^2\), wenn \ (\psi _i\) ist einheitlich. Daher nimmt der Sprungradius für \(g_{ij}>0\) ab, was typisch für Atomsysteme ist. Beachten Sie, dass der nichtlineare Effekt ignoriert werden kann, wenn \(|\psi _i|^2\) klein ist. Dies kann durch Verringerung der Dichte erreicht werden, was eine der Haupttechniken ist, die bei der Analyse realer Systeme im Folgenden verwendet werden.

Mathematisch gesehen ist Gl. (4) kann durch Einstellen geeigneter Parameter für das durch Gleichung beschriebene System erhalten werden. (6). Insbesondere das Fehlen eines kinetischen Energieterms in Gl. (4a) erfordert \(m_1 \rightarrow \infty\). Allerdings sind die Massen m interkonvertierbarer Atomsysteme gleich, also \(m_i = m\). Um dies zu umgehen, können wir die effektive Masse erhöhen; zum Beispiel, indem man die Atome in einem periodischen Gitter anordnet. Dies kann erreicht werden, indem zusätzlich \(V_2=0\), \(V_{1}\) periodisch und \(\Delta _1=0\) eingestellt werden. Dann wird die dynamische Gleichung75:

Hier wird nur die positive Verstimmung \(\Delta = \Delta _{2} - \epsilon _{1}/\hbar >0\) berücksichtigt, wie in Abb. 6c dargestellt.

Beachten Sie, dass die direkte adiabatische Eliminierung nicht funktioniert, wenn Zustände mit hoher Energie \(\epsilon _{i>1}\) besetzt sind. Dies liegt daran, dass sich Hochenergiezustände im Vergleich zur vermittelnden Komponente nicht langsam entwickeln. Um die Besetzung höherer Energieniveaus zu vermeiden, können wir das System auf lokale Grundzustände \(\phi ({\textbf {r}})\) mit der Energie \(\epsilon _{1}\) beschränken und die Anregung durch die Wahl eines geeigneten Systems verhindern Verstimmung so, dass \(\epsilon _{2}-\epsilon _{1} \gg \hbar \Delta \gg \hbar |\Omega |\) (siehe Abb. 6c). Unter diesen Randbedingungen können wir zusammen mit der adiabatischen Eliminierung zeigen (Abschn. S2 in SM), dass Gl. (10a) und (10b) reduzieren sich auf die exakte Form von Gl. (2) mit \(U=g_{11}\int |\phi |^4\), \(P=\hbar \Omega ^{2}/\Delta\), springender Kernel \(G_{D}( r)\) in Tabelle 1, und

für \(d\gg 2\ell\), wobei \(C_{D}\) eine Konstante ist. Intuitiv haben Partikel, die länger im Vermittlungskanal bleiben, eine größere Sprungreichweite \(R\sim \Delta ^{-1/2}\). Da der effektive Umwandlungsbereich eine charakteristische Längenskala \(2\ell\) in einem Einheitsgitter mit der Länge d hat, wird eine Skalierung mit \(2\ell /d\) erwartet. Tatsächlich haben wir die effektive Skalierung \(\Delta \rightarrow \Delta _{eff}=(2\ell /d)^{D}\Delta\). Die Selbstkonsistenzbedingung für die adiabatische Eliminierung lautet \(\hbar \Delta \gg Un_{0},P\) unter der Annahme, dass alle \(n_{i}\sim n_{0}\) (\(n_{0}\) ist die durchschnittliche Anzahl der Partikel pro Standort). In diesem effektiven NLHM ist \(a_{i}\) in Gl. (1) stellt den Zustand eines lokalisierten Wellenpakets am Ort i dar. Darüber hinaus ist der Kern \(G_{ij}\) in Gl. (1) beschreibt das durch Materiewellen vermittelte Springen mit Wellenpaketen, die am Ort j vernichtet und am Ort i erzeugt werden.

Das oben besprochene System erfordert ein ineinander umwandelbares Teilchen, das ein Atom mit zwei verschiedenen Hyperfeinzuständen sein kann. Ein Kandidat ist das Rubidium-Atom mit den Hyperfeinzuständen \(|F=1, m_F=-1\rangle\) und \(|F=1, m_F=0\rangle\), das in einer spinabhängigen Falle61 realisiert wurde. Angenommen, das Einfangpotential ist sinusförmig \(V_{1}({\textbf {r}})=V_{0}\sum _{\sigma }\sin ^{2}(kx_{\sigma })\) mit der Wellenlänge \(\lambda\), Wellenzahl \(k=2\pi /\lambda\), Gitterabstand \(d=\lambda /2\) und Fallentiefe \(V_{0}\). Die Summierung erfolgt über die Gitterfallendimension, wie in Abb. 6c oder e dargestellt. Für ausreichend großes \(V_{0}\) kann jegliches direktes Springen unterdrückt werden und die lokalen Grundzustände an Fallenminima können durch ein Gaußsches \(\phi _{\sigma }(x_{\sigma })= angenähert werden e^{-\pi x^{2}/(2\ell _{\sigma }^{2})}/\sqrt{\ell _{\sigma }}\) mit \(\ell _{\sigma }=\sqrt{\pi \hbar /(m\omega _{\sigma })}\). In dieser Einstellung wird die Nichtlinearität durch die hohe Dichte verstärkt, da \(U=g_{11}/W\) mit effektivem Volumen \(W=2^{3/2}\ell _{x}\ell _{y }\ell _{z}\). Die Konstante kann durch numerische Anpassung gefunden werden, die \(C_{D}\ approx 1\) ergibt (siehe Abschn. S3 und Abb. S1 in SM).

Damit das Springen als nichtlokal betrachtet wird, muss \(R>d\) erfüllt sein. Ein Beispiel für Rubidiumatome ist in Abb. 6d mit \(d=395\) nm und einer tiefen Falle \(s=40\) (ausdrückend \(V_{0}=sE_{R}\) in der Rückstoßenergie \) dargestellt. (E_{R}=\hbar \kappa k^{2}\)). Bei solch einem großen s ist, wie zuvor untersucht52, die Überlappung zwischen Wellenfunktionen benachbarter Zellen sehr gering, das direkte Springen ist schwach und das System wird im Quantenregime zu einem Mott-Isolator. Dennoch kann vermitteltes Hopping das direkte Hopping (mit der Ordnung \(R\sim d\), siehe Abb. 6d) vollständig ersetzen und eine Echtzeitsteuerung ermöglichen. Da \(\Omega\), \(\Delta\) und U in Experimenten leicht angepasst werden können, scheint es für R keine Obergrenze zu geben. Aus praktischer Sicht ist es jedoch durch die Lebensdauer begrenzt. (\tau\) und Versuchsdauer. Eine einfache Schätzung von \(\tau \sim 1\)s ergibt ein Maximum \(R\sim 30d\), wie in Abb. 6d gezeigt.

Das Regime mit konkurrierendem \(P\sim Un_{0}\) ist das interessanteste. Allerdings weist ein BEC in einem optischen 3D-Gitter unter Verwendung der oben angegebenen Parameter eine starke Nichtlinearität \(U/\hbar =2\pi \times 2,23\) kHz auf, was ein großes \(\Delta\) und folglich ein erfordert kleine R. U kann durch die Verwendung von zwei Abstimmungstechniken reduziert werden: Verringerung der Dichte oder Nutzung der Feshbach-Resonanz. Mit der letztgenannten Methode kann die Nichtlinearität über viele Größenordnungen experimentell eingestellt werden66. Die erstere Methode ist vorzuziehen, da sowohl Nichtlinearität als auch Kollisionsverlust gleichzeitig verringert werden können. In 1D- und 2D-Gittern kann die Nicht-Gitterdimension schwach eingefangen werden, um die Dichte zu verringern, was zu einem Gitter aus scheiben- bzw. zigarettenförmigen Wellenfunktionen führt76,77. In diesem Fall ist der dominierende Verlust der Zwei-Teilchen-Verlust in der lokalisierten Komponente. Die Rate des Zwei-Teilchen-Verlusts kann durch \(U_{Verlust}=\hbar L_{11}/W\) und daher durch die Halbwertszeit \(\tau =W/L_{11}\) mit Zwei-Teilchen-Verlust geschätzt werden. Partikelverlustrate \(L_{11}\)67. Dies impliziert, dass \(\tau \sim \ell _{z}\) in 2D, sodass eine Erhöhung von \(\ell _{z}\) die BEC-Lebensdauer verbessern kann.

Chimärenmuster in BECs. (a) Anfangsphase \(\theta _i\) mit einer einheitlichen Anzahl von Teilchen pro Gitterplatz \(n_i=10\). (b,c) \(\theta _i\) und \(n_i\) des Zustands zum Zeitpunkt \(t=205\) ms. Die Simulation basiert auf Gl. (10) im 2D-Gitter gemäß Abb. 6e mit \(100d\times 100d\) und der Randbedingung ohne Fluss. Wir mitteln räumlich über die Gittereinheiten. (d) Umwandlung zwischen zwei Komponenten. Für das optische Gitter verwenden wir Rubidium \(^{87}\)Rb mit \(s=40\) und \(d=395\text{ nm }\), was und \(\ell _{x}= \ell _{y}=0,22d\). Zusätzliche Parameter: \(\Delta =2\pi \times 48\text{ Hz }\), \(\Omega =2\pi \times 32\text{ Hz }\). Die Dichte wird durch die Verwendung von \(\ell _{z}=200\ell _{x}\) verringert und die Nichtlinearität wird durch die Verwendung der Feshbach-Resonanz um das Zehnfache abgeschwächt. Die geschätzten Werte sind \(Un_{0}/\hbar \ungefähr 2\pi \times 19\text{ Hz }\), \(P\ungefähr 2\pi \times 16\text{ Hz }\), \( R\ungefähr 6d\) und (\tau \ungefähr 5\text{ s }\).

Die Ableitung effektiver Modelle impliziert, dass Chimärenmuster auch in bestimmten Parameterbereichen für Gl. beobachtet werden können. (4) und (10). Die Frage ist: Können solche Parameterregime in BEC-Experimenten mit der aktuellen Technologie erreicht werden? Die mögliche Existenz von Chimärenmustern in ultrakalten Atomen wird in einem in Abb. 8 dargestellten Parameterregime nachgewiesen, das auf einer vollständigen Simulation der Gleichungen basiert. (10). Ähnlich wie in Abb. 4 erscheint schließlich ein zufälliger Kern. Abbildung 8d zeigt die kohärente Schwingung zwischen den beiden Komponenten mit der Frequenz \(\sim \sqrt{\Omega ^2+\Delta ^2}\). Beachten Sie, dass die meisten Atome nach einer vollständigen Periode wieder umgewandelt werden können, was das in Abb. 6a diskutierte physikalische Bild bestätigt und mit früheren Arbeiten55,56 übereinstimmt. Das hier untersuchte Regime \(|\Delta |\gtrsim |\Omega |\) gehört nicht zum weit verstimmten Regime und kann von NLHM möglicherweise nicht gut beschrieben werden, dennoch können in Simulationen immer noch Chimärenmuster beobachtet werden. Dies deutet darauf hin, dass Chimärenmuster in einem breiten Spektrum von Parameterbereichen existieren. Da sich die experimentellen Techniken weiter verbessern, wird es möglich sein, das adiabatische Regime genauer zu untersuchen.

Experimentell kann der Ausgangszustand ausgehend von einem einheitlichen BEC hergestellt werden. Tausende optischer Gitterplätze77,78,79 können mit adiabatisch eingeschaltetem \(V_{1}\) erzeugt werden, bis das direkte Springen unterdrückt wird und das vermittelte Hopfen zu dominieren beginnt. Die durch einen kurzen Lichtimpuls induzierte Energieverschiebung kann dann genutzt werden, um jede gewünschte Anfangsphase zu erzeugen. Die Systemzustände und -dynamiken können mithilfe verschiedener Techniken wie optischer Auslesung, Flugzeittechniken oder Materiewelleninterferenz80,81 erfasst werden. Der Verlust \(U_{Verlust}/U \ungefähr 0,017\) ist hier vergleichbar mit der Diskussion im Minimalmodell. Beachten Sie, dass ein kleiner Verlust dazu führen kann, dass das BEC-System der klassischen Trajektorie folgt82, sodass jeder Standort durch eine klassische mittlere Feldamplitude und -phase gut beschrieben werden kann. Gleichzeitig legen unsere Simulationen nahe, dass Chimärenkernmuster in 2D aufgrund ihrer topologischen Struktur besonders robust sind. Insbesondere wenn wir mit einem Chimärenkern-Anfangszustand beginnen, kann dieser über lange Zeiträume bestehen bleiben. Dies ist besonders nützlich, wenn die Lebensdauer von BECs in einem bestimmten Experiment durch andere experimentelle Unzulänglichkeiten weiter eingeschränkt wird. All dies legt nahe, dass Chimärenmuster in experimentellen BECs beobachtbar sein sollten.

Zusammenfassend stellt unsere Arbeit eine Hamilton-Formulierung von Chimärenzuständen vor und zeigt die Existenz von Chimärenmustern in drei konservativen Hamilton-Systemen. Das in unserer Studie verwendete NLHM ist ein direktes Analogon des nichtlokalen CGLE5, und unser Ansatz ermöglicht die Anwendung bestehender Techniken in ultrakalten Atomen und kann leicht auf das Quantenregime verallgemeinert werden. Unsere Simulationen in realistischen Parameterregimen von BECs legen nahe, dass Chimärenmuster in Experimenten mit ultrakalten Systemen unter Verwendung aktueller Technologie beobachtbar sein sollten. Darüber hinaus legen unsere Ergebnisse nahe, dass das Fortbestehen der inkohärenten Region und die Bildung eines Chimärenkerns ausgehend von einem Wirbel- oder Spiralanfangszustand in 2D zwei eindeutige Indikatoren für die korrekte Umsetzung des vermittelten nichtlokalen Hüpfens sind, im Gegensatz zum lokalen Hüpfen, das dazu führen würde die Glättung des inkohärenten Bereichs im Laufe der Zeit.

Unsere Ergebnisse in diesem Artikel basieren auf klassischen konservativen Hamilton-Systemen, die einen neuen Weg zum Verständnis von Chimärenmustern bieten. Diese Ergebnisse können auf das Quantenregime übertragen werden, da alle von uns analysierten physikalischen Prozesse kohärent sind und sowohl Energie als auch Teilchen erhalten. Die Gleichungen (1)–(2), (4)–(10) können quantisiert werden und Gl. (1) wird zum Bose-Hubbard-Modell mit abstimmbarem vermitteltem Hopping55. Dies öffnet die Tür für die Erforschung exotischer Zustände kondensierter Materie, wie z. B. superfester Zustände und Quantenwirbel mit topologischen Defekten, zusätzlich zu anderen weitreichenden Effekten54,83. Die von uns vorgestellte Technik legt nahe, dass experimentelle Studien der Synchronisations- und Chimärenmuster einer großen Anzahl von Oszillatoren in Quantensystemen möglich sein könnten37,84,85,86,87,88. Wir hoffen, dass unsere Arbeit hier weitere Studien zu Chimärenmustern an ultrakalten Atomen und Quantensystemen anregen wird.

Die numerischen Methoden, die wir zur Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichungen in Abb. 8 verwendet haben, sind die Zeitaufteilungsmethode vierter Ordnung89. Bei dieser Methode für konservative Systeme bleibt die Partikelzahl automatisch erhalten. Für alle anderen Ergebnisse haben wir das standardmäßige Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung verwendet. Die in den Simulationen verwendete Geometrie ist ein quadratisches Gitter mit der Größe L und der Randbedingung „Kein Fluss“. Für die spiralförmige Anfangsbedingung wird die gleichmäßige Dichte \(|a_{i}|=\sqrt{n_{0}}\) verwendet und der Zustand ist gegeben durch \(a_{i}(t=0)=\sqrt{ n_{0}}e^{i(k_{s}r-\tan ^{-1}(y/x))}\) mit \(r=\sqrt{(x^{2}+y^{ 2})}\). Für den wirbelartigen Anfangszustand ist der Zustand gegeben durch \(a_i(t=0) = A_i e^{i \tan ^{-1}(y/x)}\) mit \(A_i = 1-e ^{-r/R_{vortex}}\) und \(R_{vortex}\) ist die Längenskala des Wirbels. Wir verwenden in diesem Manuskript \(R_{vortex}=R\). Für das System mit einem vermittelnden Kanal ist der Kanal zunächst leer \(\psi _2=0\).

Die während der aktuellen Studie generierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

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Wir danken David Hobill, Lindsay Leblanc, Matthew Fisher, Stephen Wein und Farokh Mivehvar für nützliche Diskussionen. Diese Forschung wurde teilweise durch die Unterstützung von WestGrid, Calcul Québec und Compute Canada ermöglicht. HWHL wurde von AITF und NSERC unterstützt. JD und CS danken NSERC für die finanzielle Unterstützung.

Hon Wai Hana Lau

Aktuelle Adresse: Quantum Information Science and Technology Unit, Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University, Onna-son, Kunigami-gun, Okinawa, 904-0495, Japan

Institut für Quantenwissenschaft und -technologie und Abteilung für Physik und Astronomie, Universität Calgary, Calgary, AB, T2N 1N4, Kanada

Hon Wai Hana Lau & Christoph Simon

Complexity Science Group, Abteilung für Physik und Astronomie, Universität Calgary, Calgary, T2N 1N4, Kanada

Hon Wai Hana Lau und Jörn Davidsen

Hotchkiss Brain Institute, University of Calgary, Calgary, T2N 4N1, Kanada

Jörn Davidsen & Christoph Simon

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HWHL konzipierte das Projekt, konstruierte die mathematischen Modelle, führte Berechnungen und Simulationen durch und erstellte alle Figuren und Filme; JD überwachte die Aspekte des Chimärenmusters und schrieb den Chimärenteil des Hauptmanuskripts mit HWHL; CS überwachte die Aspekte der Atomphysik und verfasste den atomaren Teil des Hauptmanuskripts mit HWHL; Alle Autoren überprüften die endgültige Fassung des Manuskripts.

Korrespondenz mit Hon Wai Hana Lau.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

Springer Nature bleibt neutral hinsichtlich der Zuständigkeitsansprüche in veröffentlichten Karten und institutionellen Zugehörigkeiten.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Lau, HWH, Davidsen, J. & Simon, C. Chimärenmuster in konservativen Hamilton-Systemen und Bose-Einstein-Kondensaten ultrakalter Atome. Sci Rep 13, 8590 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-35061-3

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Eingegangen: 21. August 2017

Angenommen: 11. Mai 2023

Veröffentlicht: 26. Mai 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-35061-3

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