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Oct 30, 2023

Nichtlineare zwei

Band Nature Communications

Nature Communications Band 13, Artikelnummer: 3090 (2022) Diesen Artikel zitieren

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Ein Zeitkristall ist ein makroskopisches Quantensystem in periodischer Bewegung in seinem Grundzustand. In unseren Experimenten bilden zwei gekoppelte Zeitkristalle aus Spinwellen-Quasiteilchen (Magnonen) ein makroskopisches Zweiebenensystem. Die beiden Ebenen entwickeln sich im Laufe der Zeit, wie sie intrinsisch durch eine nichtlineare Rückkopplung bestimmt wird, was es uns ermöglicht, spontane Zwei-Ebenen-Dynamik zu konstruieren. Im Verlauf eines Bahnübergangs bewegen sich Magnonen vom Bodenniveau zum angeregten Niveau, angetrieben durch den Landau-Zener-Effekt, kombiniert mit Rabi-Populationsschwankungen. Wir zeigen, dass Magnonenzeitkristalle den Zugang zu allen Aspekten und Details quantenkohärenter Wechselwirkungen in einem einzigen Versuchsdurchgang ermöglichen. Unsere Arbeit eröffnet einen Ausblick auf den Nachweis von oberflächengebundenen Majorana-Fermionen im zugrunde liegenden Supraflüssigkeitssystem und lädt zur technologischen Nutzung kohärenter Magnonphänomene ein – möglicherweise sogar bei Raumtemperatur.

Ständige Grundzustandsbewegung im Gleichgewicht definiert einen Zeitkristall, aber die Beobachtung einer solchen Bewegung ist bekanntermaßen nicht möglich1. Experimentelle Zeitkristall-Erkenntnisse verbiegen somit entweder das Gleichgewichts-2,3,4 oder das Ewigkeitserfordernis5,6,7 und erreichen Stabilität nur, wenn sie von der Umgebung und dem Beobachter isoliert sind1,8,9,10. Folglich ist die Kopplung separater Zeitkristalle unter Beibehaltung einer ausreichenden Isolation eine Herausforderung, und Zeitkristalle wurden noch nicht in einer dynamischen Umgebung untersucht. Wir arrangieren die spontane Zwei-Ebenen-Dynamik wechselwirkender Zeitkristalle, die jeweils aus 1012 Magnonen bestehen, in der supraflüssigen B-Phase von 3He (3He-B). In diesem System kann die beobachtbare Lebensdauer des Kristalls ohne eine treibende Kraft auf bis zu tausend Sekunden11 (109 Bewegungsperioden) verlängert werden, während das zugrunde liegende Supraflüssigkeitssystem eine intrinsische Rückmeldung für die Entwicklung kohärenter Dynamik liefert.

Magnonen in 3He-B entstehen als Quanten transversaler Spinwellen, die mit einer Magnetisierung verbunden sind, die um das äußere Magnetfeld H präzediert. Bei ausreichender Magnonendichte und ausreichend niedriger Temperatur synchronisiert sich die Präzession spontan mit gleichmäßiger Frequenz ω und Phase und bildet ein Magnon-Bose –Einstein-Kondensat12,13,14. Die spontane Synchronisation kann demonstriert werden, indem Magnonen in der begrenzenden Falle auf ein höheres Energieniveau gepumpt werden, von wo aus sie spontan in den Grundzustand fallen5,15, oder indem inkohärente Magnonen mithilfe eines Rauschantriebs in das System gepumpt werden7,16. Dies zeigt, dass der Magnon-Zustand im BEC vom Antrieb entkoppelt ist. Die transversale Spinpräzession des Magnonenkondensats manifestiert daher die charakteristische spontane periodische Bewegung eines Zeitkristalls5,6.

Der Zeitkristall kann mit zwei verschiedenen Pumptechniken hergestellt werden. Die Verwendung eines kontinuierlichen Antriebs ergibt einen Floquet-Zeitkristall (diskreten Zeitkristall). Hier verwenden wir die gepulste Technik, bei der der Antrieb abgeschaltet wird, bevor die Kristallentwicklung beginnt. Dieser Ansatz ermöglicht es uns, ungekünstelte Zeitkristalldynamiken und -wechselwirkungen ohne externe Durchsetzung zu untersuchen. Die zeitliche Kristallbildung während des Pumpimpulses und ihre Entwicklung danach werden durch zwei Zeitskalen charakterisiert. Die erste Zeitskala τE ~ 0,1 s beschreibt die Zeit der Thermalisierung des Kristalls17, das heißt, wie schnell die Präzession auf Bodenniveau in einer Falle nach dem Pumpen von Magnonen kohärent wird. Die zweite Zeitskala τN ist die Zeitkristalllebensdauer. In einem isolierten Probenbehälter verläuft τN→∞ exponentiell mit abnehmender Temperatur. In der Praxis treten auch Verluste im Schaltkreis auf, der zu Kontroll- und Beobachtungszwecken mit den präzedierenden Spins gekoppelt ist. Es ist daher notwendig, ein endliches τN zu berücksichtigen. Der Zeitkristall bleibt wohldefiniert, solange τN ≫ τE5,6.

Im superflüssigen 3He besitzen Cooper-Paare einen Bahnimpuls, dessen durchschnittliche Verteilung, parametrisiert durch den Vektor L, im Probenbehälter axialsymmetrisch ist (Abb. 1). Der Zeitkristall wird durch diese Verteilung aufgrund der Spin-Bahn-Wechselwirkung in der Mitte der supraflüssigen Probe gefangen. Wir optimieren die Falle, indem wir ein Magnetfeldprofil hinzufügen, wie in den Methoden 18, 19, 20 beschrieben. Wir platzieren außerdem eine freie Oberfläche des Superfluids über dem Zentrum der Massenfalle6. Die freie Oberfläche verzerrt die Verteilung von L, wie in Abb. 2a gezeigt, was zu einem zweiten lokalen Minimum führt, das 3 mm über dem Minimum der Massenfalle liegt. Magnonen können gefangen werden und in einer der Fallen oder in beiden gleichzeitig Zeitkristalle bilden. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf das niedrigste Energieniveau in jeder Falle. Wir bezeichnen die Zeitkristalle als „Masse“ und „Oberfläche“, entsprechend dem physischen Standort. Der Standort eines Zeitkristalls wird aus experimentellen Aufzeichnungen anhand seiner Reaktion auf Änderungen im Magnetfeldprofil6 identifiziert.

Die superflüssige 3He-Probe ist in einem Quarzglaszylinder enthalten. Der Magnonzeitkristall (blauer Fleck) wird in der Mitte des Behälters durch die kombinierte Wirkung eines Minimums im statischen Magnetfeld, das mithilfe einer Pinch-Spule (grüne Drahtschleife) erzeugt wird, und durch die räumliche Verteilung des supraflüssigen Bahnimpulses gefangen L (kleine grüne Pfeile). Die kohärente Präzession der Magnetisierung M (Magenta-Kegel) im Zeitkristall wird mit transversalen Aufnahmespulen beobachtet. Das statische Magnetfeld H ist parallel zur Zylinderachse ausgerichtet. Zur Veranschaulichung wurde die Welligkeit auf der freien Oberfläche des Suprafluids hinzugefügt. Der zweistufige Zeitkristall ist in Abb. 2 schematisch dargestellt.

a Die Verteilung von L (grüne Pfeile) begrenzt Magnonen auf zwei lokale Minima, die zwei benachbarte Zeitkristalle beherbergen: einen in der Masse des Superfluids (blauer Fleck) und einen anderen, der die freie Oberfläche berührt (roter Fleck). In jedem Zeitkristall präzediert die Magnetisierung kohärent, was mit der Messschaltung gekoppelt ist, wie in Abb. 1 dargestellt. b Magnonen in der Masse modifizieren die durch die L-Verteilung erzeugte Begrenzungsfalle. Wenn die Massenpopulation groß ist (Cyan-Klecks), wird die Texturfalle erweitert (rote Pfeile), was auch die Wellenfunktion des Oberflächenzeitkristalls verändert (Magenta-Klecks). Dies erhöht die Kopplung zwischen den Staaten. Änderungen in der Falle und den Wellenfunktionen wurden zur Veranschaulichung übertrieben dargestellt. c Der Zustand des Zwei-Ebenen-Systems (roter Pfeil) kann anhand einer Bloch-Kugel dargestellt werden, bei der der radiale Abstand der Magnonenzahl NB + NS entspricht, die relative Phase zwischen der Präzession der Zeitkristalle dem Azimutwinkel ϕ und der Polare entspricht Winkel θ beschreibt die relativen Gewichte der zweistufigen Basiszustände in der „Überlagerung“ (siehe Methoden).

Bezeichnen wir die Kristallpopulation während der gesamten Zeit (d. h. die Anzahl der eingefangenen Magnonen) mit NB und die Oberflächenpopulation mit NS. Die Volumen- und Oberflächenpräzessionsfrequenzen (ωB, ωS) werden durch das Profil der begrenzenden Falle und die Kopplung Ω zwischen den Kristallen durch die Überlappung ihrer Wellenfunktionen bestimmt, wie unter Methoden beschrieben. Wir werden zeigen, dass die Dynamik der gekoppelten Ebenen durch den makroskopischen Zweiebenen-Hamiltonoperator beschrieben wird

wobei ℏ die reduzierte Planck-Konstante und t die Zeit ist. Beachten Sie, dass dieses Zwei-Ebenen-System praktischerweise durch eine makroskopische Bloch-Kugel (Abb. 2c) parametrisiert wird, wobei die relative Präzessionsphase zwischen den Zeitkristallen dem Azimutwinkel und den Ebenenpopulationen der Projektion auf der z-Achse entspricht, in direkter Analogie zu die Bloch-Kugel-Beschreibung mikroskopischer Zwei-Ebenen-Systeme wie Qubits. Im Folgenden messen wir alle Frequenzen im Rahmen, der mit der Larmorfrequenz ω0 = ∣γH∣ rotiert, gemessen im Zentrum der Massenfalle (γ ≈ −2⋅108rad s−1 T−1 ist das gyromagnetische Verhältnis von 3He).

Der wesentliche Unterschied von Gl. (1) von einem Standard-Hamiltonoperator mit zwei Ebenen ist die Abhängigkeit ωB[NB(t)], die aufgrund einer nichtlinearen Rückkopplung durch die Spin-Bahn-Falle entsteht: Eine große lokale Magnonendichte dehnt die Falle aus und verändert die Verteilung von L , wodurch ωB abnimmt. Dieser Mechanismus wird ausführlich in Lit. untersucht. 5,13,14,21, und das Ergebnis ist schematisch in Abb. 2b dargestellt. In der Nähe der freien Oberfläche ist die L-Verteilung senkrecht zur Oberfläche festgelegt. Daher ist ωS in guter Näherung konstant. Mit zunehmendem Zerfall der Kristallpopulationen nimmt NB ab und ωB zu. Wir können somit die Energieniveaus in der Doppelfalle kreuzen lassen, indem wir geeignete Anfangspopulationen auswählen. Eine genaue Beschreibung der makroskopischen Zeitkristallwellenfunktionen, des Einfangpotentials und des Rückkopplungsmechanismus wird in Methoden abgeleitet. Wir betonen, dass alle relevanten technischen Erläuterungen in den Methoden zu finden sind, auch wenn nicht ausdrücklich darauf verwiesen wird.

Wir stellen fest, dass ein weiteres charakteristisches Merkmal von Zeitkristallen, die fehlende Erwärmung bei kontinuierlichem Antrieb22, auch in diesem System zum Ausdruck kommt. Beim kontinuierlichen Pumpen wird die Anzahl der Magnonen im Zeitkristall durch das chemische Potenzial bestimmt, das der Pumpfrequenz entspricht (siehe Methoden). Bei Überschreitung dieser Zahl entkoppelt sich der Zeitkristall spontan vom Antrieb13 und verhindert so eine Überhitzung. In ähnlicher Weise wird während des langsamen Bevölkerungsrückgangs nach einem Pumpimpuls das chemische Potenzial (Präzessionsfrequenz) kontinuierlich an die sich ändernde Magnonenzahl angepasst21. Daher werden die Präzessionsperiode und die Kohärenz nicht mehr mit dem Antriebsimpuls vergleichbar und somit unabhängig von diesem, selbst wenn der Antrieb ursprünglich resonant war.

In diesem Artikel untersuchen wir die Dynamik des zweistufigen Zeitkristallsystems und führen zwei Experimente durch. Im ersten Experiment, bei dem der Bahnübergang bei kleiner NB stattfindet, zeigen wir Kreuzungsdynamiken, die der Lehrbuchbeschreibung folgen: Das System befindet sich zunächst im Grundzustand, aber bei einem vermiedenen Bahnübergang sind beide Ebenen aufgrund der Landau-Zener-Population besiedelt überweisen. Dieser „Überlagerungs“-Zustand wird durch Schwankungen der Rabi-Bevölkerung nach der Überquerung weiterhin verändert. Das zweite Experiment beginnt mit einer „Überlagerung“, der Pegelübergang findet bei großem NB statt, wo sich der Rückkopplungsmechanismus in eine sich dynamisch ändernde Kopplung Ω umwandelt. Die Analyse des zweiten Experiments zeigt, dass koexistierende Zeitkristalle Vielteilchenwechselwirkungen für den fähigen Beobachter in einem einzigen Versuchsdurchgang offenlegen. Das heißt, in diesem Fall kann die Dynamik des Bahnübergangs nicht analytisch beschrieben werden, aber während kohärente Quantenphänomene oft der direkten Betrachtung verborgen bleiben, unterliegen Zeitkristalle keinen derartigen Einschränkungen.

Die Zeitkristallebenen können durch einen Hochfrequenzimpuls über benachbarte Spulen im gewünschten Verhältnis bevölkert werden (Abb. 1). Um die zweistufige Dynamik hervorzuheben, bevölkern wir zu Beginn des in Abb. 3a gezeigten Experiments nur den Massenzeitkristall. Nach dem Impuls induziert die kohärente Präzession der Magnetisierung in den Spulen ein oszillierendes Signal, das Rückschlüsse auf die Präzessionsfrequenz zulässt und aus der Signalamplitude die Magnonenzahl ergibt. Diese Größen sind dem Experiment in Abb. 4 entnommen. Dem Pumpen folgt ein exponentieller Abfall von \({N}_{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}(t) ={N}_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}(t=0)\exp (-t/{\tau }_{{{{{{{{ \rm{B}}}}}}}}})\) mit der Zeitkonstante τB, gesteuert durch die Temperatur, wie in den Methoden beschrieben.

a Das Signal der Aufnahmespulen, analysiert mit Fenster-Fourier-Transformation (FT), zeigt den Volumenzeitkristall als sich bewegenden scharfen Peak. Die Frequenz ist im rotierenden Rahmen Δω = ω − ω0 aufgetragen. Der Anregungsimpuls bei t = 0 ist der Übersichtlichkeit halber eingerahmt. Anfangs gilt ωB < ωS, aber wenn die Population in der Massenfalle bei t = 3,3 s zerfällt, bewegt sich der globale Grundzustand in einer vermiedenen Kreuzung an die Oberfläche. Gleichzeitig wird der angeregte Zustand, der sich nun in der Masse befindet, besiedelt. Populationsschwankungen nach Rabi (Josephson) werden als Seitenband betrachtet. Die aus dem Seitenband extrahierte Kopplung extrapoliert am Kreuzungspunkt auf Ω/(2π) = 1,7 ± 0,4 Hz, in guter Übereinstimmung mit dem angepassten Simulationswert Ω/(2π) ≈ 1,4 Hz. b Die numerische Simulation stellt den Populationstransfer und das Seitenband wieder her und bestätigt, dass der Populationstransfer auf den Landau-Zener-Übergang zurückzuführen ist (Analyse in Abb. 4). Ohne Messrauschen ist auch das Seitenband der Oberflächenzeitspur schwach sichtbar. c Die Subtraktion der Simulation vom Experiment zeigt, dass die punktuellen Residuen kleiner als 5 % bleiben. Die relative Differenz wird durch das Gesamtsignal an der Kreuzung normiert. Bei dieser Messung betrug die Temperatur 180 μK und ω0/(2π) = 833 kHz.

a Die bodennahe Zeitkristallfrequenz in der Simulation (dünne magentafarbene Linie) folgt der aus dem Experiment extrahierten Frequenz (dicke schwarze Linie). Die experimentelle Linie erhält man, indem man das Maximum im in Abb. 3 gezeigten Fourier-Spektrum verfolgt (Oszillationen werden durch das lange Zeitfenster herausgefiltert). Die Grundzustandsfrequenz entspricht zunächst ωB und nach dem vermiedenen Übergang bei t = 3,3 s ωS. Gleichzeitig wechselt die Frequenz des angeregten Niveaus (Simulation – dünne Cyan-Linie, Experiment – ​​gepunktete dicke dunkelrote Linie) von ωS zu ωB. Aufgrund der Populationsschwankungen kommt es zu Schwankungen der Frequenzen nach der Kreuzung. b Wir können daher die Simulation verwenden, um die unbearbeiteten Frequenzen ωB (dicke rote Linie) und ωS (dünne blaue Linie) zu extrahieren, die sich bei t = 3,3 s kreuzen (gepunktete vertikale Linie). Die Kreuzungsrate d∣ωS − ωB∣/dt ≈ dωB/dt wird intrinsisch durch die Rückkopplung ωB(NB) beschleunigt, wie die unterschiedlichen Steigungen der strichpunktierten und gestrichelten roten Linien veranschaulichen. Die Größe des Landau-Zener-Bevölkerungstransfers wird durch diese Beschleunigung bestimmt. Frequenzen sind im rotierenden Rahmen Δω = ω − ω0 aufgetragen. Die entsprechenden Populationen sind in den folgenden Feldern dargestellt: c Die gemessene Signalamplitude (Bodenniveau – dicke schwarze Linie, angeregter Zustand – gepunktete dicke dunkelrote Linie) stimmt mit den simulierten gekleideten Populationen (Bodenniveau – dünne magentafarbene Linie, angeregter Zustand – dünn) überein Cyan-Linie). Sowohl die Gesamtpopulation aus der Simulation als auch das gemessene Signal werden an der Kreuzung auf eins normiert, und die zum Vergleich in Abb. 3 verwendeten Füllfaktoren (siehe Methoden) werden hier nicht verwendet. d Die unbekleideten Populationen NB (dicke rote Linie) und NS (dünne blaue Linie) werden aus der Simulation extrahiert. Die Gesamtpopulation wird an der Kreuzung auf eins normiert. Die schwarze Linie zeigt die Massenpopulation mit kompensiertem exponentiellem Zerfall, \({N}_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}^{0}={N}_{ {{{{{{\rm{B}}}}}}}}}\exp (t/{\tau }_{{{{{{{\rm{B}}}}}}}} })/{N}_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}(t=0)\). Nach der Überquerung liegt der Durchschnitt der kompensierten Massenpopulation bei \({N}_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}^{0}=0,61\) (horizontale gestrichelte Linie) , entsprechend dem Bevölkerungsanteil, der durch den Landau-Zener-Mechanismus in den angeregten Zustand überführt wird.

In Abb. 3 befindet sich das Bodenniveau zunächst in der Massenfalle, NB zerfällt mit einer durch τB bestimmten Geschwindigkeit und ωB steigt langsam an, während die Falle wieder eine schmalere Form annimmt. Währenddessen bleibt ωS konstant. Daher kreuzt ωB schließlich ωS, bevor es sich einpendelt. In einem gekoppelten Zweiniveausystem hat ein Bahnübergang spezifische Konsequenzen: Die beobachteten Frequenzen sind die (bearbeiteten) Eigenfrequenzen des Hamilton-Operators, die von den unbekleideten Frequenzen ωB, ωS im Rabi-Regime Ω > ∣ωB − ωS∣ abweichen. Aufgrund dieser Hybridisierung vermeiden die beobachteten Niveaus, sich zu kreuzen, und das globale Bodenniveau wechselt sanft von der Masse zur Oberfläche (von ωB zu ωS), wie in Abb. 3a dargestellt. Es wird auch ein Bevölkerungstransfer zwischen den Ebenen beobachtet, da beide Ebenen nach der vermiedenen Kreuzung besiedelt sind.

Das adiabatische Durchqueren des vermiedenen Übergangs würde es der gesamten Magnonenpopulation ermöglichen, dem globalen Grundzustand zu folgen, aber hier bewegen sich einige Magnonen in den Zustand mit höherer Eigenenergie (Präzessionsfrequenz). Dieser Vorgang ist allgemein als Landau-Zener-Stückelberg-Majorana-Tunnelbau oder Landau-Zener-Tunnelbau bekannt. Die übertragene Bevölkerung hängt von der Geschwindigkeit des Bahnübergangs d∣ωS − ωB∣/dt bei ωB = ωS ab. Bei üblichen gekoppelten nichtlinearen Oszillatoren mit Dämpfung wird die Kreuzungsrate direkt durch die Dämpfung bestimmt. Hier entspricht die Abklingrate τB = 3,5 s d∣ωB[NB(t)]/(2π)∣/dt ~ 24 Hz s−1. Unter Verwendung dieser und der direkt aus dem Experiment extrahierten Kopplung, wie unten erläutert, ergibt sich der vorhergesagte Landau-Zener-Populationstransferanteil von 0,9 % in den angeregten Zustand, der zwei Größenordnungen kleiner ist als der im Experiment beobachtete. In diesem Fall wäre in Abb. 3a nach der Kreuzung nur eine der beiden Ebenen sichtbar. In ähnlichen experimentellen Durchläufen mit kleineren d∣ωS − ωB∣/dt haben wir einen Populationstransfer beobachtet, der bis zu 20 Größenordnungen größer ist als die entsprechende Landau-Zener-Vorhersage.

Wir können diese auffällige Diskrepanz analysieren, indem wir die zeitliche Entwicklung des zweistufigen Hamilton-Operators numerisch simulieren. Wir führen die experimentell ermittelten Volumen- und Oberflächenzerfallsraten τB und τS, die entsprechenden Anfangspopulationen und die gemessene ωB[NB]-Abhängigkeit einer numerischen Simulation des zweistufigen Hamilton-Operators zu (siehe Methoden). Als Anpassungsparameter wird die Kopplungskonstante Ω verwendet, die Ω/(2π) = 1,4 Hz ergibt.

Das Ergebnis der Simulation, das auf die gleiche Weise wie das experimentelle Signal dargestellt wird, ist in Abb. 3b dargestellt. Wir können es direkt mit dem Experiment vergleichen, indem wir das simulierte zeitabhängige Fourier-Spektrum vom experimentellen subtrahieren (Abb. 3c). Die Simulation unterschätzt die Änderung der Oberflächenzeitkristallfrequenz in der Nähe der Kreuzung, wie in Abb. 4a, b gezeigt, was die größte Abweichung zwischen den Fourier-Spektren verursacht. Ansonsten beträgt die typische Abweichung zwischen den beiden Signalen, normiert auf das Gesamtsignal an der Kreuzung, weniger als 5 %. Die Simulation reproduziert insbesondere das Ausmaß des Populationstransfers, das heißt, 60 % der Magnonen wechseln in den angeregten Zustand. Die simulierte Populationsdynamik wird direkt mit dem gemessenen Signal in Abb. 4c verglichen. Wir betonen, dass wiederholte Durchläufe der Simulation mit gestörten Eingabeparametern zeigen, dass dieses qualitative Niveau des Bevölkerungstransfers unempfindlich gegenüber dem genauen Wert eines der Eingabeparameter ist.

Um diese Beobachtung zu erklären, extrahieren wir die unbekleideten Frequenzen aus der Simulation in der Region in der Nähe der vermiedenen Kreuzung (Abb. 4b). Aufgrund der Rückkopplung ωB(NB) ändert sich die Volumenfrequenz sowohl aufgrund des langsamen Zerfalls von NB als auch aufgrund des Populationstransfers von NB zu NS durch Rabi-Oszillationen. Somit erhöht ihre kombinierte Wirkung die Kreuzungsrate d∣ωS−ωB∣/dt. Die Größe des Landau-Zener-Populationstransfers wird innerhalb von ~50 ms nach der Kreuzung bestimmt23, und in diesem Fenster kann ωB(t) linearisiert werden. Das Einsetzen der beschleunigten Kreuzungsrate in die Landau-Zener-Formel ergibt den erwarteten Bevölkerungstransfer von 61 %, was in guter Übereinstimmung mit dem simulierten Bevölkerungstransfer von 60 % steht (Abb. 4d). Das heißt, der Bevölkerungstransfer folgt der Landau-Zener-Beschreibung, wobei die Übergangsrate zum Zeitpunkt des Bahnübergangs ermittelt wird. Beachten Sie, dass die Landau-Zener-Beschreibung somit auch dann gültig ist, wenn die Kreuzungsrate durch intrinsische Rückkopplung reguliert wird. Wir kommen zu dem Schluss, dass der beobachtete Populationstransfer die zweistufige Interpretation der Zeitkristalldynamik stark unterstützt.

Weit entfernt von der vermiedenen Kreuzung ist die Zwei-Ebenen-Wechselwirkung durch AC-Josephson-Populationsschwankungen zwischen den Ebenen gekennzeichnet6. Aufgrund der Rückkopplung in der Massenfalle führen die Schwingungen zu einem Seitenband, das der Massenspur folgt. Die Frequenz der Populationsschwingungen wird durch die Differenz der zeitlichen Präzessionsfrequenzen der Kristalle bestimmt, die der Differenz ihrer chemischen Potentiale entspricht6. Somit ist das Seitenband um ∣ωB − ωS∣ von der Volumenspur getrennt, wie in Abb. 3a zu sehen ist (siehe Ableitung in Methoden). Die Amplitude der Populationsschwingungen wird durch die Kopplung Ω und die relative Seitenbandamplitude durch die Steigung von ωB(NB) bestimmt (Formeln sind in Methoden angegeben). Somit können wir die Kopplung direkt aus den experimentellen Daten extrahieren, was Ω/(2π) = 1,7 ± 0,4 Hz im Bahnübergangsbereich ergibt, in guter Übereinstimmung mit dem durch die Simulation angepassten Wert Ω/(2π) = 1,4 Hz.

Zusammengenommen bestätigen die Josephon-Populationsschwankungen, der Landau-Zener-Populationstransfer und die Übereinstimmung über die Zwei-Ebenen-Kopplung, die unabhängig voneinander aus den verschiedenen Aspekten der Populationsdynamik extrahiert wurden, dass die Zwei-Zeit-Kristalle ein makroskopisches Zwei-Ebenen-System bilden.

Die Dynamik des Magnon-Zeitkristalls, verstärkt durch die nichtlineare Rückkopplung, kann auch direkt analysiert werden, ohne auf eine numerische Simulation des Systems zurückgreifen zu müssen. Dies ist von Vorteil, da dadurch Wechselwirkungen mit mehreren Zeitkristallen entwirrt werden können, die über die zweistufige Beschreibung hinausgehen. Als einfache Demonstration dieser Fähigkeit führen wir einen Bahnübergang in einer Region ein, in der NB eine Größenordnung größer ist als oben. Die resultierende Fallenmodifikation beeinflusst nicht nur ωB(NB), sondern auch die Verengung zwischen den Zeitkristallen, wie in Abb. 2b skizziert. Dies führt dazu, dass sich die Kopplung Ω im Verlauf der Kreuzung dynamisch ändert. Beide Ebenen werden zu Beginn des Experiments gefüllt (Abb. 5a), um deren Dynamik direkt verfolgen zu können.

a Die Zeit, in der Kristalle bei t = 0 entstehen. Frequenzen sind im rotierenden Rahmen Δω = ω − ω0 aufgetragen. b Zunächst befindet sich das Bodenniveau (schwarze Linie) im Volumen und das angeregte Niveau (durchgezogene grüne Linie) an der Oberfläche. Bei t ≈ 3,8 s (vertikale gestrichelte Linien) bewegt sich das Bodenniveau in einer vermiedenen Kreuzung sanft an die Oberfläche. Die gepunktete grüne Linie zeigt eine lineare Interpolation der Frequenz des angeregten Zustands am Schnittpunkt. c Der größte Teil der Bevölkerung folgt der bodennahen Bewegung (schwarze Linie) von der Masse zur Oberfläche, erkennbar an einem starken Anstieg der exponentiellen Relaxationsrate τ (angepasste gestrichelte Linien und in der Abbildung markierte Werte). Die Gesamtbevölkerung wird an der Kreuzung auf eins normalisiert. d Populationsoszillationen zwischen den Zeitkristallen sind als Seitenband der Volumenkristallspur in Bild a bei der Frequenz ωSeitenband zu sehen. Der Frequenzabstand des Seitenbandes von der Hauptspur, ∣ωB − ωSeitenband∣ (durchgezogene schwarze Linie), ist gleich dem Frequenzabstand der Hauptspuren, ∣ωB − ωS∣ (magentafarbene gestrichelte Linie). e Die Kopplung Ω kann aus den Seitenband- und Hauptspuramplituden extrahiert werden, in guter Übereinstimmung mit der Schätzung durch lineare Interpolation aus der Trennung der Hauptspuren in Tafel b (horizontale gestrichelte Linie). Bei dieser Messung betrug die Temperatur 150 μK und ω0/(2π) = 624 kHz.

In diesem Experiment ändert sich die Kopplung, aber qualitativ folgt die Dynamik einem ähnlichen Muster wie oben: Der Grundzustand bewegt sich von der Masse zur Oberfläche, wenn sich die unbekleideten Frequenzen bei t ≈ 3,8 s kreuzen (Abb. 5b). Der Zeitpunkt der Kreuzung wird durch einen starken Anstieg der Grundzustandsspurrelaxationsrate von \({\tau }_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}^{- identifiziert. 1}=0,06\,{{{{{{{\rm{s}}}}}}}}}^{-1}\) bis \({\tau }_{{{{{{{{ \rm{S}}}}}}}}}^{-1}=0,53\,{{{{{{{\rm{s}}}}}}}}}^{-1}\) (Abb. 5c). Der Anstieg wird auf eine erhöhte Dissipation in der Oberflächenfalle aufgrund der oberflächenvermittelten Emission anderer Spinwellenmodi24 und potenziell oberflächengebundener Majorana-Zustände25,26 zurückgeführt, eine detaillierte Untersuchung wird jedoch der Zukunft vorbehalten. Wir stellen fest, dass die Zustände auch durch Anpassen des Magnetfeldprofils und erneutes Durchführen des Experiments identifiziert werden können; Die Relaxationsrate ist eine praktische Abkürzung zur Unterscheidung der beiden Ebenen.

Oszillationen der Josephson-Population zwischen den beiden Zeitkristallen werden als Seitenband gesehen, das der Spur des Zeitkristalls im Volumen folgt. Wie oben erläutert, ist das Seitenband von der Volumenspur durch ∣ωB − ωS∣ getrennt. Diese Trennung ist charakteristisch für den Josephson-Effekt und ändert sich mit der Zeit, weil sich ωB ändert, wie in Abb. 5d dargestellt. Auf den Oberflächenzeitkristall folgt kein ähnliches Seitenband, da die Oberflächenfalle starr ist und Besetzungsoszillationen daher zu keinen Seitenbändern führen (siehe Methoden). Ein zweites Seitenband der Massenspur sollte symmetrisch auf der anderen Seite der Massenspur liegen, es stimmt jedoch genau mit der Oberflächenspur überein und ist daher nicht auflösbar.

Die Seitenbandamplitude ermöglicht es uns, die Kopplung zwischen den Zeitkristallen zu extrahieren (Abb. 5e). Die extrahierte Kopplung ist zu Beginn des Experiments am größten und nimmt ab, wenn NB abnimmt. Das heißt, die Verengung zwischen den Zeitkristallen wird durch die Bulk-Trap-Modifikation beeinflusst (Abb. 2b), wodurch die Kopplung größer wird, wenn NB groß ist. Dies steht qualitativ im Einklang mit dem in Lit. diskutierten Fallenmodifikationsmechanismus. 13,14,21.

Nahe der vermiedenen Kreuzung verhindern Interferenzeffekte den direkten Zugriff auf die Populationsschwingung im Experiment. In einem Zwei-Ebenen-System kann die Kopplung jedoch auch aus dem minimalen Frequenzabstand der gekleideten Frequenzen der beiden Ebenen an der vermiedenen Kreuzung abgeleitet werden, der 2 Ω beträgt. Dies erfolgt durch Interpolation in Abb. 5a. Das Ergebnis wird durch die horizontale Linie in Abb. 5e dargestellt und stimmt gut mit der aus den Seitenbändern extrahierten Abhängigkeit überein. Beachten Sie, dass in der Nähe des vermiedenen Kreuzungspunkts der Abstand der beobachteten (beobachteten) Frequenzen der Differenz zwischen der Josephson-Frequenz und der Rabi-Frequenz entspricht. Das heißt, Rabi-Populationsschwingungen ersetzen sanft die Josephson-Oszillationen und erhöhen die Populationsschwingungsfrequenz im Vergleich zur Josephson-Frequenz, die gegen Null geht.

Es ist erwähnenswert, dass die Relaxationsrate des Volumenkristalls davon abhängt, ob es sich um den globalen Grundzustand oder den globalen angeregten Zustand handelt. In Abb. 5c beträgt die Volumenrelaxationszeit \({\tau }_{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}^{-1}=0,06\,{{{{ {{{{\rm{s}}}}}}}}}^{-1}\) bis zum Niveauübergang (Grundzustand) und steigt auf \({\tau }_{{{{{{ {{\rm{B}}}}}}}}}^{-1}=0,2\,{{{{{{{\rm{s}}}}}}}}}^{-1} \) nach dem Bahnübergang (erregter Zustand). Die gleiche Beobachtung gilt entsprechend für die Kristallrelaxationsraten an der Oberfläche. Wir betonen, dass eine solche Änderung niemals beobachtet wird, wenn kein Bahnübergang stattfindet, beispielsweise wenn sich der Zeitkristall während des gesamten Experiments im Grundzustand befindet. Das heißt, der angeregte Zustand scheint langsam Magnonen in den Grundzustand abzugeben. Diese Beobachtung deutet darauf hin, dass es einen zusätzlichen inkohärenten Kanal gibt, der es Magnonen ermöglicht, vom angeregten Zustand in den Grundzustand zu gelangen. Dies zeigt unabhängig voneinander, dass die beiden Zeitkristalle interagieren und dass der Bahnübergang physikalische Konsequenzen hat, die die Dynamik im Zweiebenensystem durchdringen .

Die obige Analyse bestätigt, dass die zweistufige Beschreibung gültig und robust gegenüber dynamischen Variationen ihrer Parameter ist und dass direkte experimentelle Beobachtungen einen kontinuierlichen Zugang zu allen relevanten Aspekten der Interaktion ermöglichen.

Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass die Dynamik und Wechselwirkungen der beiden benachbarten Magnonen-Zeitkristalle quantitativ durch einen zweistufigen Hamilton-Operator beschrieben werden. Die Niveaus werden durch eine nichtlineare Rückkopplung verändert, die durch die Spin-Bahn-Wechselwirkung im zugrunde liegenden Supraflüssigkeitssystem entsteht. Dies ermöglicht die Entwicklung einer intrinsischen Zeitkristalldynamik ohne kontinuierlichen externen Antrieb. Wir zeigen, dass, wenn sich die Eigenfrequenzen der beiden Ebenen einander annähern, die Kopplung zwischen den Ebenen zu einer vermiedenen Kreuzung mit anschließendem Landau-Zener-Populationstransfer vom globalen Grundzustand in den angeregten Zustand führt. Schwankungen der Rabi-Bevölkerung erhöhen in Kombination mit dem Rückkopplungsmechanismus den Bevölkerungstransfer um Größenordnungen. Dies wird durch den Vergleich der numerisch simulierten Populationsdynamik mit den Experimenten quantifiziert. Wir zeigen auch, dass alle relevanten Observablen und Parameter, einschließlich der Eigenfrequenzen und der Kopplung zwischen den Zeitkristallen, gleichzeitig aus dem Experiment extrahiert werden können. Wir betonen, dass jede in diesem Artikel gezeigte Messsequenz einem einzelnen Versuchsdurchlauf entspricht, die Phänomene jedoch gut reproduzierbar sind.

Wir haben gezeigt, dass die Spin-Bahn-Wechselwirkung genutzt werden kann, um eine nichtlineare Rückkopplung für Magnonen in einem kohärenten Zeitkristallsystem zu erzeugen. Für spinbasierte Versionen grundlegender Quantengeräte wie dem SQUID ist eine nichtlineare Rückkopplung erforderlich. Es bleibt eine interessante Aufgabe, das Zeitkristall-Zweiebenensystem weiter zu erforschen, indem das parametrische Pumpen von Magnonen und Logikgatteroperationen zwischen den beiden Ebenen demonstriert werden. Beispielsweise kann parametrisches Pumpen durch Modulieren des magnetischen Teils der Falle mit der Frequenz Ω erreicht werden. Darüber hinaus kann eine beliebige Anzahl koexistierender Zeitkristalle in einer magnetischen Landschaft untergebracht werden, um die Anzahl der Freiheitsgrade zu erhöhen, und die flexible Falle kann durch Anpassen des externen Magnetfelds ausgeschaltet werden. Dies sind wichtige Fähigkeiten zur Realisierung magnonbasierter Geräte27,28,29,30,31,32. Um auf Phänomene wie die Quantenverschränkung zuzugreifen, können Operationen mit wenigen Magnonen unter Verwendung von nanofluidischem Einschluss und hochempfindlichen NMR-Techniken implementiert werden33,34. Wir betonen, dass ähnliche physikalische Phänomene, einschließlich Quasiteilchen-Bose-Einstein-Kondensation und die Entstehung von Zeitkristallen, in bestimmten Festkörpersystemen bei Raumtemperatur zugänglich sind, beispielsweise basierend auf Magnonen in YIG-Filmen35,36,37,38,39,40, 41,42. Dies eröffnet den Ausblick auf quasiteilchenbasierte kohärente On-Chip-Anwendungen unter Umgebungsbedingungen, einschließlich der kohärenten Quanteninformationsverarbeitung27,28,30,31,32,39.

Das dreidimensionale topologische Superfluid ist von einem zweidimensionalen System oberflächengebundener Quasiteilchen umgeben, darunter Majorana-Fermionen43,44,45,46,47,48,49. An der freien Oberfläche gibt es keine Verunreinigungen (anders als an den Wänden des Probenbehälters), und es wird erwartet, dass sich oberflächengebundene Majorana-Fermionen als nachweisbare magnetische Dissipation bei Nulltemperatur manifestieren25,26. Majorana-Fermionen sind trotz jahrzehntelanger Suche in verschiedenen Systemen kondensierter Materie immer noch schwer zu finden50. Der hybridisierte Zwei-Ebenen-Zustand steht in direktem Kontakt mit der freien Oberfläche des Superfluids und stellt somit eine äußerst empfindliche Sonde für die gebundenen Majorana-Zustände dar. Wir haben vorläufige Beweise dafür geliefert, dass die Oberfläche magnetische Dissipation induziert und dass Details dieser Signatur mithilfe des Zeitkristall-Zweiebenensystems untersucht werden können.

Die superflüssige 3He-Probe wird in einem zylindrischen Quarzglasbehälter (15 cm lang, 6 mm Durchmesser) in einem nuklearen Entmagnetisierungskühlschrank platziert (Abb. 1). Das untere Ende des Probenbehälters ist mit einem Volumen aus gesinterten Silberpulveroberflächen verbunden, die thermisch mit dem nuklearen Kältemittel verbunden sind. Dies ermöglicht eine Abkühlung des 3He auf 130 μK. Die Temperatur des Suprafluids wird mit einer Quarz-Stimmgabel51,52 gemessen und der Druck entspricht dem Sättigungsdampfdruck, der bei diesen niedrigen Temperaturen verschwindend klein ist. Die supraflüssige Übergangstemperatur bei gesättigtem Dampfdruck beträgt Tc ≈ 0,9 mK. Der Probenbehälter ist von zwei transversalen NMR-Spulen umgeben, die Teil eines Schwingkreisresonators mit Q ≈ 150 sind, und einer Pinch-Spule, die zur Erzeugung eines axialen Minimums des Magnetfelds dient. Die Resonanzfrequenz des Schwingkreises kann in acht äquidistanten Schritten zwischen 550 kHz und 833 kHz abgestimmt werden, was externen Magnetfeldern zwischen 16,5 mT und 25 mT entspricht. Das Signal wird durch einen Kaltvorverstärker53 und Raumtemperaturverstärker verstärkt.

Die freie Oberfläche liegt 3 mm über der Mitte des Magnetfeldminimums. Die Position der freien Oberfläche wird angepasst, indem 3He langsam entfernt wird, bis die gewünschte Position erreicht ist. Dabei wird der Druck des 3He-Gases in einem kalibrierten Volumen gemessen, das sich aus der Entfernung von Flüssigkeit aus dem ursprünglich vollständig gefüllten Probenbehälter ergibt. Das Ergebnis lässt sich positiv mit dem beobachteten Magnonenspektrum und einem numerischen Modell der Falle vergleichen. Die daraus resultierenden zwei Fallen für Magnonen werden im nächsten Abschnitt detailliert beschrieben.

Die Zeitkristallwellenfunktion kann als Ψ = ae−iωt geschrieben werden, wobei t die Zeit ist, ω die Präzessionsfrequenz in Bezug auf das chemische Potential μ = ℏω ist, der Phasenterm eiφ in a enthalten ist und die Anzahl der Magnonen N = ist ∣a∣2. Der Kippwinkel der präzedierenden Magnetisierung βM, gemessen vom Magnetfeld H, parametrisiert das räumliche Profil der Wellenfunktion, \(N=| a{| }^{2}\propto \int {\sin }^{2} \frac{{\beta }_{{{{{{{\bf{M}}}}}}}}}}{2}{{{{{{\rm{d}}}}}} }}V\). Das in den Aufnahmespulen (Abb. 1) induzierte Signal ist sinusförmig und entspricht der Magnetisierung entlang der Achse der NMR-Spule, oder mit anderen Worten, dem Realteil der rotierenden komplexen Wellenfunktion e−iωt. Die gemessene Signalamplitude ist proportional zur Amplitude der Zeitkristallwellenfunktion,

Dabei enthält c den sogenannten Füllfaktor des Zustands innerhalb der NMR-Spulen, die vom Schwingkreisresonator und anderen Verstärkern im Messkreis53 bereitgestellte Verstärkung sowie physikalische Konstanten20,21.

Eine gewünschte Ebene in der Falle kann durch einen Hochfrequenzimpuls über die Aufnahmespulen bevölkert werden, gefolgt von einem langsamen Bevölkerungszerfall aufgrund zweier Mechanismen: Die fermionischen thermischen Anregungen des Suprafluids verursachen eine nichthydrodynamische Spindiffusion18. Dieser Beitrag kann in der Nulltemperaturgrenze exponentiell klein sein (eine Lebensdauer von 1000 s wurde erreicht11) oder bei höheren Temperaturen dominant sein. Die Beobachtung und Steuerung der quasi-perpetuellen Zeitkristallbewegung führt zwangsläufig auch zu externer Verlustleistung,54 in unserem Fall zu Strahlungsverlusten in der Messschaltung18. Beide Dissipationsmechanismen führen im Laufe der Zeit zu einem exponentiellen Populationszerfall, der in Kombination durch die Zeitkonstante τN beschrieben wird. Die Zeitkristalle sind gut definiert, vorausgesetzt, dass die Lebensdauer, die hier τN ~ 10 s beträgt, viel länger ist als die Zeit, die der Zeitkristall benötigt, um sich nach dem Impuls zu bilden (hier τE ~ 0,1 s)5,6.

Das Zwei-Ebenen-System wird ohne Kopplung zwischen den Zuständen durch die „Superposition“-Wellenfunktion \({{\Psi }}=b\,{e}^{-i{\omega }_{{{ {{{{{\rm{B}}}}}}}}}t}+s\,{e}^{-i{\omega }_{{{{{{{{\rm{S}} }}}}}}}t}\), wobei \(b=\sqrt{{N}_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}}}{e}^ {-i{\varphi }_{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}}\) und \(s=\sqrt{{N}_{{{{{{ {{\rm{S}}}}}}}}}}{e}^{-i{\varphi }_{{{{{{{{\rm{S}}}}}}}}}} \). Nur die relative Phase geht in die Dynamik des Systems ein. Daher kann b als real gewählt werden, und die Kombination b, s lässt sich bequem durch eine makroskopische Bloch-Kugel veranschaulichen (Abb. 2c): Die Oberfläche entspricht Zuständen mit der Gesamtmagnonenzahl N0 = ∣b∣2 + ∣s∣2 = NB + NS, und das Innere zu kleineren Magnonzahlen, die während des Populationszerfalls erreicht werden. Die Gewichte der Basiszustände in der Überlagerung, also der Anteil der Gesamtpopulation im Volumenzustand (Oberflächenzustand), sind durch den Polarwinkel θ mit \({N}_{{{{{{{{\rm {B}}}}}}}}}={N}_{0}\cos (\theta /2)\) (\({N}_{{{{{{{{\rm{S}} }}}}}}}={N}_{0}\sin (\theta /2)\)). Die relative Phase ϕ entspricht dem Azimutwinkel in der xy-Ebene der Kugel. Es entwickelt sich im Laufe der Zeit entsprechend

Wir weisen darauf hin, dass die Steuerung der relativen Phase den Rahmen der vorliegenden Arbeit sprengt und eine Anpassung der NMR-Spulengeometrie erfordert.

3He-B ist ein p-Wellen-Superfluid, daher ist der Bahnimpuls der Cooper-Paare gleich eins. Im Probenbehälterzylinder ist der mittlere Bahnimpuls L aufgrund der Orientierungswirkung des Magnetfeldes und der Behälterwände symmetrisch verteilt („Textur“, Abb. 1). Darüber hinaus erzeugen wir mithilfe einer Pinch-Spule ein axiales Minimum von H, das die Magnonen aufgrund der Zeeman-Energie einschließt. Das Bulk-Trapping-Potential U(r) = UH + UL hat also einen magnetischen Anteil,

und eine Komponente, die durch die L-Verteilung aufgrund der Spin-Bahn-Wechselwirkung erzeugt wird

Hier ist ω0(r) = ∣γH(r)∣ die lokale Larmorfrequenz, die von der Position r abhängt, ΩB ist die B-Phasen-Leggett-Frequenz, γ ≈ −2⋅108rad s−1 T−1 ist das gyromagnetische Verhältnis von 3He , und die Ordnungsparameterverteilung wird durch den Kippwinkel der Orbitalanisotropieachse, βL(r), parametrisiert, gemessen aus der Richtung des Magnetfelds H, ausgerichtet entlang der Zylinderachse.

Wenn die freie Oberfläche über das Fallenzentrum gebracht wird, wird die Ordnungsparameterfalle verzerrt, da βL = 0 an der freien Oberfläche ist, wodurch ein lokales Minimum an der Oberfläche entsteht. Beachten Sie, dass wir die Zeitkristalle in einem System untersuchen, das mit der Larmorfrequenz ω0 rotiert, in dem das gleichmäßige Magnetfeld fehlt. Wenn die Notation ω0 ohne expliziten Bezug zur Position verwendet wird, bedeutet dies die Larmorfrequenz in der Mitte der Massenfalle, die dem Minimum des harmonischen Einfangpotentials entspricht. Die in den beiden Fallen befindlichen Zeitkristalle können identifiziert und ihre Frequenzen angepasst werden, indem das Profil des Feldminimums geändert wird, unterstützt durch die unterschiedlichen Relaxationsraten. Im Folgenden konzentrieren wir uns auf die Untersuchung der Rückkopplung, die von der flexiblen Schüttgutfalle erzeugt wird.

Die harmonische Massenfalle hat eine radiale Einfangfrequenz ωr/(2π) ~ 200 Hz entsprechend UL und eine axiale Einfangfrequenz ωz/(2π) ~ 20 Hz entsprechend UH. Die resultierende Präzessionsfrequenz ist ω0 + ωr + ωz/2. Daher kann die axiale Falle in der folgenden Analyse vernachlässigt werden. Daher ist es praktisch, alle Frequenzen im um ω0 rotierenden Rahmen zu messen. Eine detailliertere Analyse der Massenfalle finden Sie in Lit. 18,19,20.

Der strukturelle Teil des Einfangpotentials spürt die lokale Magnonendichte aufgrund der Spin-Bahn-Wechselwirkung: Die Gleichgewichtstextur minimiert eine Reihe von Beiträgen der freien Energie, einschließlich der Orientierungseffekte des Magnetfelds und der Wände des Probenbehälters55. Ein wichtiger zusätzlicher Beitrag ist die Spin-Bahn-Wechselwirkungsenergie

wobei \({{\Psi }}({{{{{{\bf{r}}}}}}})\propto {\sin }^{2}{\beta }_{{{{{ {{{\bf{M}}}}}}}}}/2\) enthält die räumliche Variation der Magnonendichte, die zum Rückkopplungseffekt führt. Das heißt, das Bulk-Trap-Profil und die Form der Zeitkristallwellenfunktion hängen von NB ab, so dass dωB/dNB < 0. Im Grenzbereich der großen Magnonenzahl folgt die Bulk-Trap-Frequenz13

Hier hängt k > 0 von der Steifigkeit der Strukturfalle und dem Profil des Magnetfeldminimums ab, p ≈ 5/7,13 und \({\bar{\omega }}_{{{{{{{{\rm {B}}}}}}}}}\) steht für die zeitliche Kristalleinfangfrequenz im Grenzbereich von Nullmagnonen. Wir betonen, dass sich ωB zwar während des Zerfalls des Magnonenzeitkristalls ändert, die Änderung jedoch im Vergleich zu ω0/(2π) ~ 1 MHz sehr langsam ist und wir daher davon ausgehen können, dass die Wellenfunktionen immer der momentanen Fallenform entsprechen21. Beachten Sie, dass die Oberflächenfalle durch die Nachbarschaft der freien Oberfläche versteift wird und ωS daher in guter Näherung unabhängig von NS ist.

Es ist möglich, den Selbsteinfangeffekt numerisch in einer selbstkonsistenten Berechnung des Ordnungsparameters Textur55,56, der resultierenden Falle20, der Zeitkristallwellenfunktion13,14,21,57 und des Populationszerfalls18,19,24,58 zu beschreiben . Dies ist jedoch für das Verständnis der in diesem Artikel vorgestellten Experimente nicht notwendig, da die Suche nach einer allgemeinen Form von Gl. (7) kann bei Bedarf durch Anpassung und numerische Differenzierung der experimentellen Daten umgangen werden, und alle anderen Effekte können unabhängig gemessen werden. Der Einfachheit halber verweisen wir auf Gl. (7) in der folgenden Diskussion, aber der Leser sollte bedenken, dass die allgemeine Form der Nichtlinearität komplizierter ist.

Lassen Sie uns die beobachtbaren Folgen der Bevölkerungsschwankung untersuchen. Wir verwenden die Sprache des Josephson-Effekts, analog zum AC-Josephson-Effekt6, da die Schwingungsamplitude nur weit entfernt von der vermiedenen Kreuzung zuverlässig aus dem Experiment extrahiert werden kann. In der Nähe der vermiedenen Kreuzung sollte man das allgemeinere Bild der Rabi-Oszillation verwenden.

Die Amplitude der AC-Josephson-Populationsschwingung beträgt

Dabei ist Ω die Kopplung und ΔNB ≡ −ΔNS. Die Josephson-Frequenz ist ωJ = ∣ωB − ωS∣. Diese Schwingung moduliert die Massenkondensatfrequenz ωB wie aus der Selbsteinfanggleichung folgt. (7). Die Frequenzmodulation (FM) ist in guter Näherung sinusförmig. Dies liegt daran, dass die Amplitude der Populationsschwankung im Vergleich zur Gesamtpopulation klein ist und Gl. (7) kann linearisiert werden.

Die resultierende momentane Volumenzeit-Kristallfrequenz \({\tilde{\omega }}_{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}\) kann geschrieben werden als

Dabei ist ΔωB die FM-Amplitude. Sie hängt mit der Populationsschwingungsamplitude ΔNB zusammen

Die Fourier-Zerlegung des resultierenden frequenzmodulierten Signals ergibt

Hier ist Jn die Bessel-Funktion erster Art der Ordnung n. Die Bulk-Hauptspur entspricht n = 0. Wenn man die obigen Ausdrücke kombiniert und die erste Seitenbandamplitude (∣n∣ = 1) als ASB bezeichnet, kann der Kopplungsterm linearisiert und in Größen ausgedrückt werden, die direkt gemessen werden können:

Hier haben wir angenommen, dass die Füllfaktoren der Volumen- und Oberflächenzustände in Gl. (2) sind gleich und konstant. Wenn sich die Kristallformen im Laufe der Zeit aufgrund von Änderungen im Fallenprofil ändern, ist die mit dem obigen Ausdruck extrahierte Kopplung daher nur ungefähr.

Das Seitenband des Volumenzeitkristalls ist in der Fourier-Analyse des experimentellen Signals zu sehen (Abb. 5d). Die aus diesem Datensatz mithilfe von Gl. extrahierte Kopplung. (12) extrapoliert auf Ω/(2π) ≈ 1,7 Hz am Kreuzungspunkt, in guter Übereinstimmung mit dem angepassten Simulationswert Ω/(2π) ≈ 1,4 Hz. Beachten Sie, dass ein weiteres Seitenband symmetrisch bei einer niedrigeren Frequenz als die Massenspur vorhanden sein sollte, dieses jedoch von der Oberflächenspur bei genau derselben Frequenz abgedeckt wird.

Die Oberflächenfalle wird auf ähnliche Weise nur schwach modifiziert, so dass im Experiment keine sichtbaren Seitenbänder entstehen. Das heißt, der AC-Josephson-Effekt in einer vollständig starren Falle führt aufgrund der komplexen Interferenz der beiden Wellenfunktionen zu keinen Seitenbändern. Dies kann bestätigt werden, indem die Dynamik des starren, nicht zerfallenden gekoppelten Systems analytisch gelöst wird. Wir haben dieses Ergebnis verwendet, um die Gültigkeit der unten diskutierten numerischen Simulation zu testen. Beachten Sie, dass Ref. 6 impliziert irreführend, dass Populationsoszillationen die Seitenbänder auch dann direkt verursachen, wenn keine nichtlineare Rückkopplung vorliegt.

In der Nähe der vermiedenen Kreuzung sollte man das allgemeinere Bild der Rabi-Oszillation verwenden. Das Auflösen nach den Eigenfrequenzen des Hamilton-Operators im Rabi-Regime ergibt die Rabi-Frequenz \({\omega }_{{{{{{{{\rm{R}}}}}}}}}=\sqrt{{({ \omega }_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}-{\omega }_{{{{{{{{\rm{S}}}}}}} }})}^{2}+{(2{{\Omega }})}^{2}}\). Im Limes Ω ≪ ∣ωB − ωS∣ reduziert sich dies auf ωR = ωJ. Der Bereich, in dem ωR ≠ ωJ ist, ist in den Experimenten aufgrund von Interferenzeffekten nicht direkt sichtbar.

Bei einer exponentiellen Populationsdissipation folgt die zeitliche Kristallpopulation

wobei 1/τα die Relaxationsrate des gemessenen Signals (2) ist und α entweder B für die Masse oder S für die Oberfläche ist. Für den Oberflächenzeitkristall macht das kaum einen Unterschied, außer dass die Population langsam zerfällt. Die Volumenzeitkristallfrequenz ωB hängt von NB gemäß Gl. ab. (7), und die Frequenz nimmt daher während des Zerfalls zu. Damit haben wir das flexible Zwei-Ebenen-System erhalten, das vom Hamilton-Operator (1) beschrieben wird.

Wählen wir ωB(NB = 0) > ωS und NB(t = 0), sodass ωB(NB(t = 0)) < ωS. Nun kreuzen sich die Frequenzen der Oberflächen- und Massenzeitkristalle in der Eigenbasis, wobei Ω = 0. Wenn Ω > 0 und NB adiabatisch abnimmt, bewegen sich Magnonen in der Massenfalle sanft zur Oberflächenfalle und bleiben im globalen Grundzustand in einem das Überqueren vermieden. Der minimale Frequenzabstand des globalen Grundzustands und des angeregten Zustands am vermiedenen Kreuzungspunkt beträgt 2 Ω, wie aus dem Hamilton-Operator gelöst werden kann.

Wird der vermiedene Übergang nichtadiabatisch durchlaufen, geht ein Teil der Magnonenpopulation im Grundzustand in den angeregten Zustand über. Dieses Phänomen ist als Landau-Zener-Stückelberg-Majorana-Effekt bekannt. In unserem Fall bedeutet dies, dass nach der vermiedenen Kreuzung ein Teil der Population in der Massenfalle verbleibt, was dem neuen angeregten Zustand im System entspricht. Der Anteil der Bevölkerung, der in den angeregten Zustand versetzt wird, beträgt 59

wobei ∂t für die Zeitableitung steht. Beachten Sie, dass die Zeitableitung im kanonischen Landau-Zener-Problem zwar konstant ist, sich in unserem Fall jedoch ständig ändert. Allerdings wird die Größe des Landau-Zener-Populationstransfers innerhalb eines Zeitfensters \(\sim\! 1/\sqrt{| {\partial }_{t}({\omega }_{{{{{{{ {\rm{B}}}}}}}}}-{\omega }_{{{{{{{{\rm{S}}}}}}}}})| }\) des Bahnübergangs23 (≲100 ms breit in unserem Experiment). Daher kann ωB(t) linearisiert werden, oder mit anderen Worten, die Zeitableitung an der vermiedenen Kreuzung ergibt den korrekten Landau-Zener-Populationstransfer.

Der zweistufige Hamilton-Operator des Zeitkristalls kann mit dem langsamen Zerfall zu einem Gleichungspaar kombiniert werden:

Hier entspricht die rechte Seite dem Hamiltonoperator (1) und i ist die komplexe Einheit. Dieses Gleichungspaar kann numerisch gelöst werden. Unsere Hauptmotivation für die numerische Simulation besteht darin, zu zeigen, dass der einfache zweistufige Hamilton-Operator die Dynamik des Systems erschöpfend beschreibt, das heißt, dass der große Bevölkerungstransfer durch die intrinsische Dynamik des zweistufigen Hamilton-Operators erklärt wird. Der wichtigste Test für dieses Bild ist die vermiedene Kreuzung und der damit verbundene Bevölkerungstransfer. Die Reproduktion der Rabi-Schwingungen, die zu einer Frequenzmodulation der Zeitkristallfrequenzen führen, ist ein sekundärer Test.

Die anfänglichen Kristallwellenfunktionen, die zeitlichen Zerfallsraten der Kristalle und das Selbsteinfangleistungsgesetz der Massenfalle, Gl. (7) können unabhängig aus experimentellen Daten extrahiert und als Parameter der numerischen Simulation verwendet werden. Die Kopplung Ω an der vermiedenen Kreuzung kann nicht direkt aus dem Experiment extrahiert werden und wird als Anpassungsparameter verwendet. Zum Vergleich mit dem gemessenen Signal benötigen wir zusätzlich die Füllfaktoren cα. Sie werden auch als Anpassungsparameter verwendet.

Wir stellen fest, dass zur Reproduktion der experimentellen Signale im Allgemeinen drei zusätzliche Effekte in die Simulation einbezogen werden müssen: (i) Die Oberflächenzeitkristallfrequenz hängt von der Population in der Massenfalle ab und (ii) auch von der Population in der Oberflächenfalle ; ωS = ωS(NB, NS). (iii) Sowohl τB als auch τS ändern sich an der vermiedenen Kreuzung. Um einen reibungslosen Übergang dieses Übergangs zu ermöglichen, verwenden wir eine glatte Interpolationsfunktion zwischen den asymptotischen Relaxationsraten im Rabi-Regime, wobei die Breite des Kreuzungsbereichs ein weiterer Anpassungsparameter ist mit dem Wert ~Ω−1. Effekt (i) ist auf die Erweiterung der Verengung zurückzuführen, die die Zeitkristalle trennt (Abb. 2). Dieser Zusammenhang ist in der Simulation enthalten und wird in Abb. 4a als Abnahme von ωS bei t < 1 s gesehen, wo die Massenpopulation groß und die Oberflächenpopulation vernachlässigbar ist. Dieser Effekt kann jedoch bei der Analyse des Landau-Zener-Effekts in Abb. 3 getrost vernachlässigt werden, da die vermiedene Kreuzung bei kleinen NB stattfindet. Die zweite Abhängigkeit (ii) erzeugt die Frequenzschwingungen der magentafarbenen Linie in Abb. 4c. Beide Effekte können unabhängig voneinander aus experimentellen Daten extrahiert werden.

Die in dieser Studie verwendeten Daten sind in der Zenodo-Datenbank unter dem Zugangscode https://doi.org/10.5281/zenodo.6510863 verfügbar.

Die Simulationscodes und Anleitungen zu ihrer Verwendung sind auf begründete Anfrage beim jeweiligen Autor erhältlich.

Eine Korrektur zu diesem Artikel wurde veröffentlicht: https://doi.org/10.1038/s41467-022-31647-z

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Wir danken A. Vepsäläinen für anregende Diskussionen. Diese Arbeit wurde vom Europäischen Forschungsrat (ERC) im Rahmen des Forschungs- und Innovationsprogramms Horizon 2020 der Europäischen Union (Grant Agreement No. 694248) und zusätzlich vom Forschungs- und Innovationsprogramm Horizon 2020 der Europäischen Union im Rahmen der Grant Agreement No. 824109 unterstützt Die experimentellen Arbeiten wurden im Niedertemperaturlabor durchgeführt, das Teil der OtaNano-Forschungsinfrastruktur der Aalto-Universität und der Europäischen Mikrokelvin-Plattform ist. SA und VVZ wurden vom britischen EPSRC finanziert (EP/P024203/1, EP/W015730/1). SA dankt der Jenny- und Antti-Wihuri-Stiftung für ihre Unterstützung, PJH dankt der Väisälä-Stiftung der Finnischen Akademie der Wissenschaften und Literatur. Wir danken für die vom Aalto Science-IT-Projekt bereitgestellten Rechenressourcen.

Niedertemperaturlabor, Abteilung für Angewandte Physik, Aalto-Universität, POB 15100, FI-00076, Aalto, Finnland

S. Autti, PJ Heikkinen, J. Nissinen, JT Mäkinen, GE Volovik, VV Zavyalov und VB Eltsov

Fachbereich Physik, Lancaster University, Lancaster, LA1 4YB, Großbritannien

S. Autti & VV Zavyalov

Fachbereich Physik, Royal Holloway University of London, Egham, Surrey, TW20 0EX, Großbritannien

PJ Heikkinen

LD Landau Institut für Theoretische Physik, Moskau, Russland

GE Volovik

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Das Manuskript wurde von SA mit Beiträgen aller Autoren verfasst. Die Experimente wurden von SA, JTM, PJH, VVZ und VBE geplant, durchgeführt und analysiert. Die theoretischen Arbeiten wurden von SA, GEV, JN und VBE durchgeführt. Das Projekt wurde von VBE betreut

Korrespondenz mit S. Autti.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

Nature Communications dankt den anonymen Gutachtern für ihren Beitrag zum Peer-Review dieser Arbeit.

Anmerkung des Herausgebers Springer Nature bleibt hinsichtlich der Zuständigkeitsansprüche in veröffentlichten Karten und institutionellen Zugehörigkeiten neutral.

Open Access Dieser Artikel ist unter einer Creative Commons Attribution 4.0 International License lizenziert, die die Nutzung, Weitergabe, Anpassung, Verbreitung und Reproduktion in jedem Medium oder Format erlaubt, sofern Sie den/die ursprünglichen Autor(en) und die Quelle angemessen angeben. Geben Sie einen Link zur Creative Commons-Lizenz an und geben Sie an, ob Änderungen vorgenommen wurden. Die Bilder oder anderes Material Dritter in diesem Artikel sind in der Creative Commons-Lizenz des Artikels enthalten, sofern in der Quellenangabe für das Material nichts anderes angegeben ist. Wenn Material nicht in der Creative-Commons-Lizenz des Artikels enthalten ist und Ihre beabsichtigte Nutzung nicht durch gesetzliche Vorschriften zulässig ist oder über die zulässige Nutzung hinausgeht, müssen Sie die Genehmigung direkt vom Urheberrechtsinhaber einholen. Um eine Kopie dieser Lizenz anzuzeigen, besuchen Sie http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.

Nachdrucke und Genehmigungen

Autti, S., Heikkinen, PJ, Nissinen, J. et al. Nichtlineare Zwei-Ebenen-Dynamik von Quantenzeitkristallen. Nat Commun 13, 3090 (2022). https://doi.org/10.1038/s41467-022-30783-w

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Eingegangen: 30. Juni 2021

Angenommen: 14. Mai 2022

Veröffentlicht: 02. Juni 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41467-022-30783-w

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