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Apr 20, 2023

Ein einfaches Modell für rosa Rauschen aus Amplitudenmodulationen

Wissenschaftliche Berichte Band 13,

Wissenschaftliche Berichte Band 13, Artikelnummer: 8364 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Details zu den Metriken

Wir schlagen ein einfaches Modell für den Ursprung des rosa Rauschens (oder der 1/f-Fluktuation) vor, das auf den Wellen mit akkumulierenden Frequenzen basiert. Diese Wellen entstehen spontan in einem System mit Synchronisation, Resonanz und Infrarotdivergenz. Viele Wellen mit akkumulierenden Frequenzen können aus einem System kleiner Größe Signale mit beliebig kleinen Frequenzen erzeugen. Dieser Schwebungsmechanismus kann als Amplitudenmodulation verstanden werden. Das rosa Rauschen kann nach dem Demodulationsprozess auftreten, der in vielen Bereichen eine Vielzahl von rosa Rauschen erzeugt. Das so aus dem Schlag entstehende rosa Rauschen hat nichts mit Dissipation oder Langzeitgedächtnis zu tun. Wir schlagen außerdem neue Betrachtungsweisen für rosa Rauschen bei Erdbeben, Sonneneruptionen und Sternaktivitäten vor.

Rosa Rauschen ist allgegenwärtig. Dieses Rauschen ist durch das Potenzgesetzverhalten im sehr niederfrequenten Bereich der Leistungsspektrumsdichte (PSD) mit der Leistung \(-\alpha\), (\(0,5<\alpha <1,5\)) gekennzeichnet. Dieses Rauschen wird auch als 1/f-Schwankung oder Flickerrauschen bezeichnet.

Seit der ersten Entdeckung des rosa Rauschens in einem Vakuumröhrenstrom1 wurde das gleiche Rauschen in vielen Systemen beobachtet: Halbleiter, dünne Metalle, Biomembranen, Kristalloszillatoren, sehr langfristige Temperaturschwankungen, die Lautstärke von Orchestermusik, Schwankungen in der Erdatmosphäre Rotationsgeschwindigkeit, Schwankungen der Intensität der kosmischen Strahlung, Herzschläge, Haltungskontrolle, Magnetoenzephalographie und Elektroenzephalographie im Gehirn usw.2,3.

Es gab viele Diskussionen über den Ursprung des rosa Rauschens2,3,4,5, aber es scheint keine klare Schlussfolgerung zu geben. Es wurden viele Modelle vorgeschlagen, die rosa Rauschen hervorrufen, es wurden jedoch keine universellen Mechanismen entdeckt.

Da rosa Rauschen allgegenwärtig ist, sollte der Mechanismus einfach genug sein. Allerdings scheinen alle Anwendungen der grundlegenden Konzepte und Techniken der statistischen Standardmechanik auf Konflikte und Streitigkeiten gestoßen zu sein. Damals neigten die Menschen dazu, grundlegendere Konzepte in Betracht zu ziehen, die die Theorie der statistischen Standardmechanik neu schreiben können.

Ein typischer Mechanismus zur Erzeugung beliebiger niederfrequenter Schwankungen wäre der Wellenschlag oder die Amplitudenmodulation der primären hochfrequenten Schwankungen. Diese Amplitudenmodulation wäre für rosa Rauschen erfolgreich, wenn die Frequenzen stärker auf einen kleinen Bereich konzentriert wären. Dann kann die sekundäre Schwebungswelle niedrigere Frequenzen haben. Einer der Autoren hat diesen Mechanismus bereits für das rosa Rauschen von Geräuschen und Musik vorgeschlagen6.

Darüber hinaus sollte diese Konzentration kooperativ und systematisch sein, um die Potenzgesetz-PSD zu bilden. Wir schlagen mindestens drei Arten kooperativer Systeme vor, die rosa Rauschen erzeugen können. Dies sind (a) Synchronisation, (b) Resonanz und (c) die Infrarot-Divergenz (IR).

Wäre das rosa Rauschen eine Amplitudenmodulation, müsste auch der Demodulationsmechanismus vorhanden sein. Dies liegt daran, dass die gesamten modulierten Daten nur hochfrequente Informationen enthalten, während die Daten nach der Demodulation explizit die niederfrequenten Informationen einschließlich des rosa Rauschens anzeigen können. Der Demodulationsmechanismus kann systemimmanent sein oder im Messvorgang vorbereitet werden. Viele Demodulationsmechanismen machen die Phänomene des rosa Rauschens vielfältig: Quadratur des Originalsignals, Gleichrichtung, Schwellenwertbildung usw. Wenn beispielsweise der elektrische Strom oder die elektrische Spannung im biologischen Körper den Schwellenwert überschreitet, kommt es zu einer Entzündung und erzeugt Spitzen in den Nervenzellen . Dadurch wird das mögliche rosa Rauschen im elektrischen Strom auf das Nervensignal übertragen.

Wir beginnen unsere Diskussion im nächsten Abschnitt „Methode“ und listen wichtige Hinweise auf den Ursprung des rosa Rauschens auf; Alles deutet darauf hin, dass rosa Rauschen eine Amplitudenmodulation ist. Wir schlagen dann drei Mechanismen vor, die zur Modulation führen. Wir diskutieren zunächst den typischsten Synchronisationsmechanismus. Wir zeigen, dass (a) die exponentielle Synchronisierung einen Leistungsindex von \(-1,\) und die Potenzgesetz-Synchronisierung einen Leistungsindex ergibt, der sich geringfügig von \(-1\) unterscheidet. Als nächstes führt (b) Resonanz auch zu rosa Rauschen, da die Konzentration der angeregten Eigenmoden um die Referenzfrequenz systematisch durch die Exponentialfunktion im relevanten Bereich angenähert wird. Darüber hinaus kann (c) Infrarotdivergenz in der Bremsstrahlung rosa Rauschen erzeugen. Abschließend diskutieren wir die Robustheit von rosa Rauschen und verschiedene Demodulationsmechanismen, die eine Vielzahl von rosa Rauschen erzeugen. Im Abschnitt „Schlussfolgerung“ fassen wir unseren Vorschlag und mögliche Überprüfungen basierend auf den im Abschnitt „Methode“ dargestellten Punkten zusammen. Wir fassen auch unsere Aussichten für die Amplitudenmodulation auf einer Vielzahl von Systemen zusammen.

Wir werden nun einige entscheidende Hinweise auf den Ursprung des rosa Rauschens auflisten. Dieser Prozess ist sehr wichtig, da er klären kann, welche Prinzipien der statistischen Mechanik zur Beschreibung des rosa Rauschens nützlich sind und welche nicht.

Wellensysteme, die rosa Rauschen aufweisen, sind oft Wellen: Schallwellen, elektrischer Strom, Luft-Flüssigkeit, Flüssigkeitsströmung usw. Wellen können sich gegenseitig stören. Daher kann die Interferenz von Wellen ein Hinweis auf rosa Rauschen sein.

Kleines System und scheinbar langer Speicher Es ist bizarr, dass ein Signal mit extrem niedriger Frequenz von einem winzigen System stammen kann. Als extremes Beispiel7 erzeugen die Halbleiterfilme aus 2,5-nm-Schichten beobachtbares rosa Rauschen. Ein kleiner Halbleiter kann rosa Rauschen bis zu \(10^{-7}\,\textrm{Hz}\)8 aufweisen, und Spannungsschwankungen durch einen Halbleiter zeigen rosa Rauschen ab etwa \(1\,\textrm{Hz}\ ) zu \(10^{-6,3}\,\textrm{Hz}\)9. Diese bemerkenswerten tiefen Frequenzen klingen für gewöhnliche Kleinsysteme nahezu unmöglich. In diesem Zusammenhang gilt, wenn der Wiener-Khinchin-Satz \(S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }d\tau \int _{-\infty }^{\infty }dt\langle x(t)x(t-\tau )\rangle e^{-2\pi i\omega \tau }\) korrekt waren, dann ist das starke niederfrequente Signal in \(S(\omega )\) des Rosa Rauschen würde notwendigerweise auf die nicht verschwindende Langzeitkorrelation \(\langle x(t)x(t-\tau )\rangle\) hinweisen. Wahrscheinlich kann der Zeitdurchschnitt in diesem Theorem nicht physikalisch sein: Er ist möglicherweise für eine instationäre Zeitreihe nicht genau definiert und kann für einen endlichen Datenbereich nicht genau ausgewertet werden.

Scheinbar kein unterer Grenzwert im PSD Es wird oft diskutiert, dass das rosa Rauschen offenbar keinen expliziten unteren Grenzwert im PSD hat, der durch irgendeine das System regelnde Physik bestimmt wird. Das System, das rosa Rauschen aufweist, ist möglicherweise nicht stationär. Daher kann es sinnlos sein, Diskussionen auf der Grundlage der Stationarität des Systems zu führen.

Unabhängigkeit von der Dissipation Bemerkenswerterweise tritt das rosa Rauschen sogar im Hamilton-Mean-Field-Modell (HMF) auf, das ein streng konservatives System10 ist und nichts mit der Dissipation zu tun hat. Daher gilt das übliche Fluktuations-Dissipations-Theorem vom Typ \(\left\langle \delta x^{2}\right\rangle \propto RkT\) möglicherweise nicht für das rosa Rauschen (R ist der elektrische Widerstand und kT ist die Temperatur). ).

Quadrat des ursprünglichen Signals Bei der Ableitung des rosa Rauschens kommt es häufig vor, dass die ursprüngliche Zeitsequenz vor der PSD-Analyse quadriert wird. Beispielsweise sollten im Fall von Musik11 die Schallwellendaten für PSD immer quadriert werden; Die Autoren behaupten, dass diese quadrierten Daten die Lautstärke darstellen. Ebenso nehmen die Autoren im Fall des HMF-Modells10 immer ein Quadrat der ursprünglichen Variablen, um das rosa Rauschen zu erhalten. In beiden Fällen zeigen die Originaldaten vor der Quadratbildung kein rosa Rauschen. Im Fall des elektrischen Stroms ist dieser Vorgang nicht offensichtlich, obwohl in der wegweisenden Arbeit1 das Spannungsquadrat \(V^{2}\) für PSD hervorgehoben wird.

Aus den oben genannten fünf Hinweisen spekulieren wir, dass die Schwebungen vieler Wellen mit sich ansammelnden Frequenzen der Ursprung des 1/f-Rauschens sein könnten. Eine einfache Überlagerung zweier Wellen \(\sin (\omega t+\lambda t)+\sin (\omega t-\lambda t)=2\cos (\lambda t)\sin (\omega t)\) mit \ (\omega \gg \lambda >0\) hat keine Niederfrequenzkomponente um \(\lambda\) in der PSD. Andererseits hat das Quadrat der überlagerten Welle oben ein niederfrequentes Signal, also die Schwebungen, um \(2\lambda\) in seiner PSD. Übrigens ist es manchmal verwirrend, dass der Schallwellenschlag „hörbar“ ist, obwohl die PSD der ursprünglichen Überlagerung der beiden Wellen nicht das entsprechende niederfrequente Signal zeigt.

Das obige Argument erinnert uns an ein typisches Musikinstrument, das Theremin12, das den Wellenschlag verwendet. Durch Mischen der von einem Stromkreis erzeugten Hochfrequenzsignale von 1000 kHz und 999,560 kHz kann das Niederfrequenzsignal von 440 Hz als hörbarer Ton extrahiert werden. Die letztgenannte Frequenz kann durch die Hand des Spielers, den Antennenabstand und die Kapazität leicht variiert werden, um das gewünschte Frequenzsignal zu erzeugen. Somit kann die Amplitudenmodulation innerhalb eines kleinen Systems beliebige Niederfrequenzsignale erzeugen. Das modulierte Signal hat kein intrinsisches Gedächtnis und hat nichts mit Verlustleistung zu tun.

Ein weiteres bekanntes Gerät ist das AM-Radio, das den Wellenschlag oder die Amplitudenmodulation (AM) deutlich anzeigt. Durch die Verwendung von Radiowellen mit 526,5 kHz bis 1606,5 kHz wird das niederfrequente akustische Signal extrahiert. In diesem Fall ist der Gleichrichtungs- (Demodulations-) Prozess unerlässlich, um hörbare niederfrequente Signale zu erhalten. Dieser Demodulationsprozess ist auch für das rosa Rauschen in unserem Vorschlag wesentlich. In späteren Abschnitten werden wir verschiedene Arten von rosa Rauschen bei den vielen Möglichkeiten der Demodulation sehen.

Die oben genannten fünf Punkte werden auch eine elementare Bestätigung unseres Vorschlags sein. Dies wird in späteren Abschnitten besprochen.

Es scheint mehrere Ursachen für den Wellenschlag zu geben, der rosa Rauschen erzeugt, aber die Konzentration der Wellenfrequenzen ist das Wesentliche bei niederfrequenten Signalen. Auf solche Ursachen werden wir uns nun in den folgenden Abschnitten gesondert konzentrieren: (a) Synchronisation, (b) Resonanz und (c) Infrarotdivergenz.

In diesem Abschnitt analysieren wir die Ursache von Wellenschlägen, insbesondere wenn sich die Frequenzen der Wellen spontan annähern. Wir betrachten kooperative Systeme, die dieses Verhalten zeigen.

Die typischste Art der Synchronisation wäre der exponentielle Ansatz, wie im Fall des Kuramoto-Modells13, \(\omega =e^{-\lambda t}\), wobei \(\omega\) die Frequenz und \( \lambda\) ist die Annäherungsgeschwindigkeit und t ist die Zeit. Dann sind die Häufigkeitsverteilungsfunktion \(P(\omega)\) und die Zeitverteilungsfunktion p(t) durch \(P(\omega)d\omega =p(t)dt\) miteinander verknüpft. Wenn wir die Stationarität der Fluktuation annehmen, setzen wir \(p(t)\equiv p=const\). Dann,

Interessant ist, dass die Exponentialfunktion den Leistungsindex genau \(-1\) angibt.

Die beobachtete Schwebung ist die Interferenz des Paars von Frequenzverteilungen oben, und die Schwebungsfrequenz \(\Delta \omega\) hat ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion \(Q(\Delta \omega)\) als

was wiederum proportional zu \(\left( \Delta \omega \right) ^{-1}\) mit einem kleinen Modifikationsfaktor von \(\ln [...\Delta \omega ]\) ist. Die Einzelheiten der vollständigen Form \(Q(\Delta \omega )\) hängen von den Grenzen des Integrationsbereichs \(\omega _{1}<\Delta \omega <\omega _{2}\) ab. Typische Beispiele sind in Abb. 1 dargestellt.

Beispiele für \(Q(\Delta \omega )\) in Gl. (2) für die Fälle \(p=1,\lambda =1,\omega _{2}=10^{5}\) und \(\omega _{1}=10^{-4},10^ {-6}\) (durchgezogene bzw. gestrichelte Kurven). Das detaillierte Verhalten von \(Q(\Delta \omega )\) hängt von der Ober- und Untergrenze der Integration ab.

Das rosa Rauschen ist robust und die Frequenzverteilung spiegelt sich direkt im PDF der Wellen bei diesen Frequenzen wider.

Dabei ist \(\omega\) eine Referenzfrequenz, c eine Mischungskonstante, \(r_{i}\) die Poisson-Zufallsvariable in einem bestimmten Bereich für jede Sinuskurve und i von 1 bis zu einer Obergrenze. Dieses allgemeine Modell ist zwar statisch, stellt jedoch die Überlagerung akkumulierender Frequenzen dar, einschließlich vieler dynamischer Systeme. Dies wird in Abb. 2 demonstriert, in der die PSD von \(\phi ^{2}\) dargestellt ist.

Die PSD von \(\phi ^{2}\) wird mit \(\omega =10\), \(c=0,2\) angezeigt und r ist ein Zufallsfeld im Bereich [0, 30]. Eintausend Sinuswellen werden nach Gl. überlagert. (3). Der Leistungsindex kann sich bei jedem Lauf um bis zu etwa 0,1 ändern. Dieses PDF zeigt das rosa Rauschen des Index \(-1\) für vier Jahrzehnte.

Wie Abb. 2, aber die Sinuswellen sind mit zufälliger Phase \(\theta _{i}\), \(\,(0\le \theta _{i}<2{\pi })\) und überlagert die zufällige Amplitude \(a_{i}\,(0\le a_{i}\le 1)\) für jedes: \(\phi \left( t\right) =\sum _{i}a_{i} \sin \left( 2\pi \omega (1+ce^{-r_{i}})t+\theta _{i}\right)\). Der Leistungsindex sinkt etwas auf \(-0,9\), aber dieses PDF zeigt die Robustheit des rosa Rauschens aus dem Wellenschlag.

Das rosa Rauschen ist robust und die Randomisierung jeder Phase der Sinuswelle verändert die PDF nicht, außer dass der Leistungsindex leicht reduziert wird, wie in Abb. 3 dargestellt.

Es ist wichtig, dass das Quadrat des Signals \(\phi ^{2}\) tatsächlich rosa Rauschen im PSD zeigt, wie in Abb. 1, während das ursprüngliche Signal selbst \(\phi\) bei niedriger Frequenz keine Merkmale zeigt Region, wie in Abb. 4 dargestellt. Diese Tatsache zeigt deutlich, dass das rosa Rauschen vom Wellenschlag herrührt.

Wie Abb. 2, aber dies ist eine PDF-Datei für das Originalsignal \(\phi\). Rosa Rauschen tritt in diesem Fall nie auf, was darauf hindeutet, dass das Rauschen durch den Wellenschlag entsteht.

Eine weitere beliebte Art der Synchronisation wäre der Potenzansatz \(\omega =t^{-\alpha }\). Indem wir die gleichen Berechnungen wie oben wiederholen, erhalten wir die Häufigkeitsverteilungsfunktion als

wobei \(c\equiv p\alpha ^{-1},\beta \equiv \left( 1+\frac{1}{\alpha }\right) .\) Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion \(Q(\Delta w )\) der Schwebungsfrequenz \(Q(\Delta w)\) ist gegeben durch

Dann,

wenn wir bezüglich kleiner \(\omega _{1}\) und kleiner \(\Delta \omega .\) entwickeln, ist der Exponent kleiner als \(-1\) für \(\alpha >0\), und größer als \(-1\) für \(\alpha <0\), aber die Referenzstärke ist \(-1\). Typische Beispiele sind in Abb. 5 dargestellt.

Beispiele für \(Q(\Delta \omega )\) für die Fälle \(p=1,\lambda =1,\omega _{2}=10^{5}\) und \(\omega _{1} =10^{-4},c=1,\beta =1,2\) und 1,33 (durchgezogene bzw. gestrichelte Kurven).

Ein typisches Wellensignal kann wie zuvor konstruiert werden:

und PSD für \(\phi ^{2}\) sind in Abb. 6 für \(\alpha =3\) und in Abb. 7 für \(\alpha =-3.\) dargestellt.

Die PSD wird für \(\phi ^{2}\) mit \(\alpha =3,{\omega =10}\), \(c=0,3\) und \(r_{i}\) angezeigt ein Zufallsfeld im Bereich [0,20]. Einhundert Sinuswellen werden nach Gl. überlagert. (7). Dieses PDF zeigt das rosa Rauschen des Index \(-1,4\) für vier Jahrzehnte.

Die PSD wird für \(\phi ^{2}\) mit \(\alpha =-3, {\omega =10},\) \({c=0,03}\) und \(r_{i}) angezeigt. \) ist ein Zufallsfeld im Bereich [0,1]. Eintausend Sinuswellen werden nach Gl. überlagert. (7). Dieses PDF zeigt das rosa Rauschen des Index \(-0,8\) für drei Jahrzehnte.

Obwohl es sich bei den obigen Demonstrationen um typische einfache Modelle der Wellen mit sich ansammelnden Frequenzen handelt, sind die Frequenzen festgelegt. Allerdings können auch dynamische kooperative Systeme mit zeitabhängigen Frequenzen betrachtet werden, die häufig rosa Rauschen aufweisen; makroskopische gekoppelte Spinmodelle14 und das Hamilton-Mean-Field-Modell10. Da deren Erörterung den Rahmen dieses Dokuments sprengen würde, werden wir sie bald in einem separaten Dokument behandeln.

Wir betrachten nun die Resonanz, die die spontane Konzentration von Frequenzen und die Wellenschläge erzeugt. Wenn das System mit der intrinsischen Eigenfrequenz \(\Omega\) (wiederholt) angeregt wird, sendet es die Wellenmode der Frequenz \(\Omega\) sowie solche in der Nähe von \(\Omega\) aus. Resonanz sorgt somit für die Konzentration von Frequenzen in einem kleinen Bereich. Da diese Frequenzen nahe beieinander liegen, schlagen sich die Wellen dieser Frequenzen und erzeugen in Niederfrequenzbereichen ein Signal.

Nehmen wir einen typischen Fall der Resonanz an, der durch die Resonanzkurve, die Cauchy-Verteilung, gekennzeichnet ist

Dabei ist \(\Omega\) die Resonanzfrequenz und \(\kappa\) die Schärfe der Resonanz. Wir werden diese Funktion \(R[\omega ]\) als proportional zur Anzahl der \(\omega\)-Moden im Resonator interpretieren. Dann ist die Häufigkeitsverteilungsfunktion \(P(\omega )\) durch die Umkehrfunktion von \(R[\omega ]\) gegeben, as

wobei wir die obere Hälfte der Umkehrung von \(R[\omega ]\) gewählt haben, da die untere Hälfte symmetrisch zur oberen Hälfte ist.

Es ist möglich, eine naive Annäherung an Gl. vorzunehmen. (9) durch die Exponentialfunktion \(\omega =Ae^{-Bt}\), wobei die Konstanten A, B am Wendepunkt von Gl. bestimmt werden. (9), wie in Abb. 8 gezeigt. Wir wissen bereits, dass diese Exponentialfunktion das genaue rosa Rauschen der Steigung \(-1\) in PSD liefert.

Dies wird in Abb. 9 demonstriert, wo die PSD für das Quadrat \(\phi (t)^{2}\) der von erzeugten Zeitsequenz \(\phi (t)\) aufgetragen ist

Demonstration von Gl. (9) im logarithmisch-linearen Diagramm. Die Funktion \(\omega (t)\) kann durch die Exponentialfunktion (gepunktete Gerade) mit der gleichen Neigung am Wendepunkt von \(\omega (t)\) angenähert werden, insbesondere im großen t-Bereich ist für die niederfrequenten Schwebungen relevant.

PSD der Zeitsequenz \(\phi (t)^{2}\), erzeugt durch Gl. (10) mit \(\kappa =0,1,\Omega =10,\) und der Definitionsbereich des Zufallsfeldes \(r_{i}\) ist [0, 10]. Wir haben 100 Sinuswellen überlagert und diese PSD zeigt das ungefähre Potenzgesetz des Index \(-1,3\).

Allerdings ist die Systemanalyse nicht einfach. Unter Verwendung der Beziehung \(P(\omega )d\omega =p(t)dt\) mit \(p(t)\equiv p=const\) erhalten wir die Häufigkeitsverteilungsfunktion \(P(\omega )\ ) als

die nicht auf eine einzelne Potenzform reduziert werden kann, wenn \(\kappa\) endlich ist.

Weitere Komplikationen entstehen durch das eigentliche Resonanzsystem, das komplizierte Obertöne und mehrere Eigenfrequenzen aufweist, die systematisch zum rosa Rauschen beitragen. Eine vollständig systematische Ableitung des rosa Rauschens für jedes konkrete Resonanzsystem erfordert weitere Untersuchungen. Da dies den Rahmen dieses Artikels sprengt, gehen wir hier nicht weiter darauf ein, sondern werden demnächst in einem separaten Artikel analysiert.

Wir betrachten nun die dritte Ursache der spontanen Frequenzkonzentration aufgrund der Infrarotdivergenz. Diese Klasse von Systemen, die rosa Rauschen aufweisen, ist recht vielfältig, kann aber auf das durch die Elektrodynamik beschriebene System aus Elektronen und Photonen reduziert werden.

In diesem Zusammenhang wurde einst ein Quantenursprung des rosa Rauschens vorgeschlagen, indem die Quanteninterferenz eines Elektrons zwischen seinen Zuständen vor und nach der Streuung genutzt wurde15,16. Sie behaupten, dass der nachgestreute Elektronenzustand nach der Emission eines Photons mit der Frequenz \(\omega\) und der vorgestreute Elektronenzustand miteinander interferieren und eine Schwebung mit der Frequenz \(\omega\) erzeugen. Diese Theorie wurde jedoch kritisiert17,18, vor allem weil Quanteninterferenz nicht wirklich auftritt; Die Vor- und Nachstreuzustände sind orthogonal zueinander und haben keine Chance, sich zu stören. Auch die Einführung der kohärenten Staatsgrundlage funktioniert nicht. Einige andere Kritikpunkte sind übrigens nicht berechtigt.

Die Essenz des rosa Rauschens ist möglicherweise nicht die Selbstinterferenz eines Elektrons, sondern die Phasenmodulation makroskopischerer halbklassischer Objekte, die mit der Emission masseloser Teilchen verbunden ist. In diesem Abschnitt konzentrieren wir uns auf eine solche halbklassische Beschreibung des Elektromagnetismus.

Im Halbleiter können die Elektronen klassisch über die Skala der freien Strömungslänge hinausgehen, etwa 10 nm, was mehreren Zehnteln der Gittergröße entspricht. Wenn die Systemgröße etwa 1 mm beträgt, gibt es \(10^{10}\) solcher lokal kohärenter Elemente im System. Die Elektronen in einem solchen kohärenten Element können durch das Wellenpaket beschrieben werden.

wobei \(\phi \left( k\right)\) die Gewichtsfunktion darstellt und \(v_{g}=d\omega /dk\) die Gruppengeschwindigkeit ist19. Das Zentrum des Wellenpakets stellt die klassische Grenze der Elektronenbewegung dar, und die Ausdehnung des Wellenpakets kann Interferenz darstellen.

Wenn das Wellenpaket der Elektronen auf eine Verunreinigung trifft, ändert die Emission von Photonen ihre Frequenz entsprechend der emittierten Energie. Die Photonenemissionswahrscheinlichkeit der Energie \(\hbar \omega\) ist proportional zu \(\omega ^{-1}\) und die Frequenzmodulation des Wellenpakets beträgt \(\omega\): Dies ist die Infrarotdivergenz in der Quantenelektrodynamik (QED)20.

Diese Wellenpakete im System breiten sich in der gleichen Richtung aus und kaskadieren, teilen sich und verschmelzen; Die Frequenzmodulationen vermischen sich entlang ihrer Ausbreitung. Wir gehen davon aus, dass die Referenzfrequenz des Wellenpakets \(\omega _{0}\) ist, die durch die angelegte Spannung und die Leitfähigkeit bestimmt wird. Dann verwandeln sich die ursprünglichen Wellenpakete in die Überlagerung einer enormen Anzahl lokaler Pakete mit den Frequenzen \(\omega _{0}-\omega _{i},i=1,2,\ldots\). Jedes Paar dieser Pakete erzeugt Schläge mit allen möglichen Unterschieden \(\left( \omega _{0}-\omega _{i}\right) -\left( \omega _{0}-\omega _{j} \right) =\omega _{j}-\omega _{i}.\) Das System ist somit gefüllt mit einer enormen Anzahl N lokaler Wellenpakete \(\psi _{i}(x,t)\), \ (i=1,2,\ldots \, N\). Der gesamte elektrische Strom ist die Überlagerung aller

wobei die quadratische Form der Wellenpakete der Demodulation jedes Pakets entspricht und somit das rosa Rauschen in diesem Strom erscheint. Dieser Prozess ist derselbe wie im vorherigen Fall des exponentiellen Ansatzes, und viele Wellenpakete mit leicht unterschiedlichen Frequenzen interferieren, um den Wellenschlag wie in Gl. (2) und somit erscheint das rosa Rauschen wie in Abb. 2.

Es ist wichtig zu beachten, dass nicht die gesamte Quanteninterferenz, einschließlich der emittierten Photonen, zur Erzeugung von rosa Rauschen erforderlich ist, sondern eine enorme Anzahl von Wellenpaketen mit synchronisierten Wellen entscheidend ist. Die emittierten Photonen werden im System leicht absorbiert, und daher hat der das System umgebende Faradaysche Käfig, falls vorhanden, keinen Einfluss auf die Stromschwankungen18.

In diesem Zusammenhang wurde der kohärente gekleidete Zustandsformalismus für QED entwickelt, um die mit dem masselosen Photon verbundene Infrarotdivergenz aufzuheben21,22. Obwohl die meisten Autoren von Anfang an (semi-)klassische Hintergrundströmungen annehmen, werden die klassischen Freiheitsgrade nicht korrekt abgeleitet. Die Ableitung der klassischen Freiheitsgrade in der QED ist im geschlossenen Zeitpfadformalismus der effektiven Aktion möglich, die mit einem instabilen Zustand verbunden ist. Die IR-Divergenz der Theorie erfordert die Trennung des klassischen statistischen Kerns von der komplexen effektiven Wirkung. Dann wird die Langevin-Gleichung mit klassischem Rauschen aus der effektiven Wirkung abgeleitet und kann die klassische Entwicklung von Strömen beschreiben23.

Dieser Formalismus erfordert eine systematischere Diskussion, als wir hier geben können. Wir werden jedoch in einem separaten Artikel über diese Theorie berichten, einschließlich der klassischen Quanteninterferenz.

Bisher haben wir drei Arten des Ursprungs der Synchronwellen vorgeschlagen, die systematische Schwebungen erzeugen und rosa Rauschen erzeugen. Da das rosa Rauschen durch den Wellenschlag oder die Amplitudenmodulation erzeugt wird, ist zur Beobachtung ein jeglicher Demodulationsprozess erforderlich. Bei diesem Demodulationsprozess kann es sich um (a) systemeigene Mechanismen oder (b) betriebliche Prozesse handeln, die mit der Datenreduzierung für PSD verbunden sind. In beiden Fällen sorgt der Demodulationsprozess für Robustheit und eine Vielfalt an rosa Rauschen. In diesem Abschnitt werden einige Beispiele dieser Robustheit und Vielfalt gezeigt.

Referenzsignal Das Referenzsignal ist dasjenige, das im „Exponentiellen Ansatz“ besprochen wurde, mit den gleichen Parametern wie in Abb. 2: \(\omega =10\), \(c=0,2\) und \(r_{i}\). ein Zufallsfeld im Bereich [0, 30]. Dort überlagern sich \(10^{3}\) Sinuskurven nach Gl. (7). Das quadrierte Signal \(\phi ^{2}\)zeigt ein deutliches rosa Rauschen mit der Steigung \(-1,0\) wie in Abb. 2.

Der Schwellenwert für \(\phi ^{2}\) Wir setzen den neuen Datennullpunkt für die \(\phi ^{2}\)-Daten, die kleiner als der Mittelwert sind, und lassen die anderen Daten unverändert. Das PSD zeigt rosa Rauschen mit einer Steigung von \(-1,0\), nahezu unverändert gegenüber dem Referenzfall. Dieser Fall kann auf das Nervensystem zutreffen, wo nur eine Spannung, die über einem bestimmten Schwellenwert liegt, ein Spitzensignal erzeugen kann.

Ein-Aus-Schwellenwert für \(\phi ^{2}\) Wir setzen den neuen Datennullpunkt für die \(\phi ^{2}\)-Daten, die kleiner als der Mittelwert sind, und setzen die anderen Daten auf 1. Die PSD zeigt rosa Rauschen mit einer Steigung von \(-0,94\).

Inverser Ein-Aus-Schwellenwert für \(\phi ^{2}\) Dies ist das Gegenteil von Fall 3. Wir legen den Wert 1 für die \(\phi ^{2}\)-Daten fest, der kleiner als der Mittelwert ist, und stellen ihn ein die anderen \(\phi ^{2}\)Daten auf 0. Das PSD zeigt rosa Rauschen mit einer Steigung von \(-0,94\), genau wie in Fall 3.

Schwellenwert für Originaldaten \(\phi\) Wir setzen den neuen Datennullpunkt für die \(\phi\)-Daten, die kleiner als der Mittelwert sind, und setzen die anderen Daten unverändert. Das PSD zeigt rosa Rauschen mit einer Steigung von \(-0,98\).

Berichtigung der ursprünglichen Daten \(\phi\) Wir setzen die neuen Daten für die \(\phi\)-Daten, die negativ sind, auf Null und lassen die anderen Daten unverändert. Das PSD zeigt rosa Rauschen mit einer Steigung von \(-1,2\). Dies kann auf einige Stromkreise zutreffen, die Transistoren, Dioden und Vakuumröhren enthalten.

Folge von lokal gemittelten \(\phi ^{2}\) Wir unterteilen die gesamte zeitliche Folge von \(\phi\) in \(10^{3}\) Segmente und wenden in jedem Segment einen quadratischen Mittelwert an. Das PSD zeigt rosa Rauschen mit einer Steigung von \(-1,1\). Dies ist die Datenverarbeitung im ursprünglichen Experiment1.

Folge von lokal gemittelten \(\phi\) Wie Fall 7, aber wir wenden in jedem Segment einen einfachen Durchschnitt an. Das PSD zeigt KEIN rosa Rauschen und die Leistung ist positiv \(+0,8\).

Grobe Zeitauflösung für \(\phi ^{2}\) Wir reduzieren die Anzahl der Abtastpunkte auf die Hälfte des Originals. Das PSD zeigt ein fast rosa Rauschen mit einer Steigung von \(-1,1\).

Weniger überlagerte Wellen Wir reduzieren die Anzahl der überlagerten Wellen vom Referenzwert \(10^{3}\) auf 10. Das PSD zeigt KEIN rosa Rauschen.

Mehr überlagerte Wellen Wir erhöhen die Anzahl der überlagerten Wellen vom Referenzwert \(10^{3}\) auf \(10^{4}\). Das PSD zeigt rosa Rauschen mit einer Leistung von \(-0,94\).

Längere Zeitsequenz Wir erweitern die Zeitsequenz vom Bezugspunkt \(10^{4}\) auf \(10^{5}\). Das PSD zeigt rosa Rauschen mit einer Steigung von \(-1,0\); das Gleiche wie zuvor, jedoch mit einem um ein Jahrzehnt verlängerten Potenzgesetz.

Mehrere Referenzfrequenzen Wir haben die Referenzfrequenz von der ursprünglichen Einzelfrequenz auf 5 geändert, zufällig ausgewählt von 0 bis 20. Das PSD zeigt rosa Rauschen mit einer Steigung von \(-1,5\).

Wie oben untersucht, gibt es mehrere Demodulationsprozesse. Sie werden als (a) systemintrinsisch und (b) operativ bei der Datenreduktion klassifiziert, obwohl die Klassifizierung nicht ausschließlich ist. Beispiele für (a) sind Schwellenwerte und Berichtigung: Fälle 3,4,5,6. Beispiele für (b) sind Datenquadrierung: Fälle 1, 2, 7. Die Fälle 9, 11, 12, 13 zeigen eine gewisse Robustheit des rosa Rauschens.

Wir haben rosa Rauschen umfassend berücksichtigt, indem wir das Rauschen mit dem Potenzgesetz des Index \(-\alpha\), (\(0,5<\alpha <1,5\)) definiert haben, und ein Modell untersucht, das dieses Verhalten zeigt. Es gibt jedoch eine Klasse von Systemen, die genau die Potenz \(-1\) anzeigen. Unser Modell kann diese exakte Potenz \(-1\) nicht erklären, außer dem exponentiellen Ansatz in Abschn. „Exponentieller Ansatz“. Wir möchten untersuchen, inwieweit das exponentielle Ansatzmodell in Zukunft allgemeingültig sein kann.

Wir haben den Ursprung des rosa Rauschens durch den Schlag von Wellen mit ansteigenden Frequenzen diskutiert. Wir haben drei mögliche Ursachen für diesen kooperativen Effekt untersucht: Synchronisation, Resonanz und IR-Divergenz. Möglicherweise gibt es noch weitere Mechanismen. Wir weisen auf die Überprüfbarkeit/Falschbarkeit unseres Modells hin, basierend auf den fünf entscheidenden Beobachtungen für das rosa Rauschen in Abschn. „Methode: einige entscheidende Hinweise für rosa Rauschen“.

Welle Die Welle ist für die Erzeugung von Schwebungs- und Amplitudenmodulation unerlässlich. Die Welle kann im System verborgen sein und die Daten können erhalten werden, nachdem sie den Schwellenwert überschritten hat. Wenn wir im System keine kohärente Welle finden können, kann unser Modell nicht angewendet werden.

Kleines System und scheinbar langes Gedächtnis Das Wiener-Khinchin-Theorem kann, wenn es auf das rosa Rauschen angewendet wird, auf ein extrem langes Gedächtnis hinweisen. Nach unserem Modell ist dieses lange Gedächtnis jedoch nicht unverzichtbar. Unser Modell wird nicht wesentlich sein, wenn wir im System einen wirklich langen Speicher finden, der rosa Rauschen zeigt.

Offensichtlich kein unterer Grenzwert im PSD. Der Schlag der Wellen mit sich ansammelnden Frequenzen oder die Amplitudenmodulation können innerhalb der Beobachtungsbeschränkungen ein unendlich niederfrequentes Signal aus dem Inneren eines endlichen Systems ergeben. Wenn daher im rosa Rauschen eine intrinsische untere Grenzfrequenz gefunden wird, kann unser Modell nicht angewendet werden.

Unabhängigkeit von der Verlustleistung Der Wellenschlag bzw. die Amplitudenmodulation ist eine sekundäre Schwankung, die durch die Wellensynthese verursacht wird. Daher kann die Dissipation das rosa Rauschen zerstören, da sie die fragilen Wellenschläge auslöschen kann.

Quadrat des Originalsignals (Notwendigkeit des Demodulationsprozesses) Die Amplitudenmodulation erfordert einen Demodulationsprozess zur Beobachtung. Die primären Schwankungen vor der Demodulation erscheinen im PSD nicht. Unser Modell für rosa Rauschen sagt voraus, dass der Demodulationsprozess entweder (a) systemintrinsisch oder (b) bei der Datenreduktion wirksam ist. Wenn die Demodulation im System des rosa Rauschens auftritt und das rosa Rauschen verschwindet, wenn der Demodulationsprozess entfernt wird, ist unser Modell stark begünstigt.

Obwohl wir ein Grundmodell für rosa Rauschen vorgeschlagen haben, haben wir immer noch viele Probleme bei der Ausarbeitung des gegenwärtigen Formalismus. Einige wurden bereits an entsprechender Stelle mit dem Stichwort „separate Arbeit“ beschrieben. Es handelt sich um dynamische kooperative Systeme, tatsächliche Resonanzsysteme und Systeme mit IR-Divergenz. Darunter fassen wir die möglicherweise resonanten Systeme in Tabelle 1 zusammen.

Die Liste in Tabelle 1 ist vorläufig und unvollständig. Es wird in unseren zukünftigen Veröffentlichungen vervollständigt, einschließlich der Verifizierung unseres einfachen Rosa-Rauschen-Modells.

Die während der aktuellen Studie verwendeten und/oder analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

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Referenzen herunterladen

Wir danken den Mitgliedern des Lunch-Time Remote Meetings für viele anregende Diskussionen. MM dankt Katsuyoshi Kobayashi (Ochanomizu-Universität) für aufschlussreiche Diskussionen. AN dankt Manaya Matsui und Izumi Uesaka (Kyoto-Sangyo-Universität) für die Diskussion vieler Überprüfungen.

Fachbereich Physik, Ochanomizu-Universität, 2-1-1, Otsuka, Bunkyo, Tokio, 112-8610, Japan

Masahiro Morikawa

Allgemeine Bildung, Kyoto-Sangyo-Universität, Motoyama Kamigamo, Kita-ku, Kyoto, 603-8555, Japan

Akika Nakamichi

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MM und AN verfassten den Haupttext des Manuskripts und bereiteten die Abbildungen vor. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Alle Autoren haben das Manuskript überprüft.

Korrespondenz mit Masahiro Morikawa.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Morikawa, M., Nakamichi, A. Ein einfaches Modell für rosa Rauschen aus Amplitudenmodulationen. Sci Rep 13, 8364 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-34816-2

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Eingegangen: 26. Januar 2023

Angenommen: 08. Mai 2023

Veröffentlicht: 24. Mai 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-34816-2

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